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Arithmétique

Divisibilité, congruences, équations diophantiennes : le cœur des olympiades.

Trois entiers consécutifs

Source : Classique olympique

Une fraction toujours irréductible

International 1959

Source : IMO 1959, Problème 1

Les deux derniers chiffres d'une grande puissance

Source : Type Olympiades de Première

Une équation sans solution non triviale

Source : Type Concours Général

Diviseurs premiers de $a^2 + 1$

Source : Classique olympique

Nombres parfaits et nombres de Mersenne

Source : Olympiade Nationale française (OMM)

Équation diophantienne et factorisation

International 2019

Source : IMO Shortlist 2019

Congruences et théorème de Fermat

Source : Olympiade Régionale française

Suite de Fibonacci et PGCD

Source : Sélection française IMO

Représentation en base et somme des chiffres

International 2016

Source : Olympiade Maghrébine de Mathématiques

Divisibilité consécutive (existence)

Source : Recueil M. Aassila

Non-divisibilité de 2ⁿ-1 par n

Source : Recueil M. Aassila

Divisibilité infinie implique égalité

Source : Recueil M. Aassila

Chiffre des unités d'une expression

Source : Recueil M. Aassila

Équation diophantienne $2 \cdot 3^x = 5^y + 1$

Source : Recueil M. Aassila

Existence d'entiers $n$ tels que $9 \mid 7^n + n^3$

Source : Recueil M. Aassila

Fonctions multiplicatives avec condition itérée

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Congruence quadratique modulo $p^2$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Suite avec somme partielle divisible par k

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équation diophantienne : sommes de carrés et puissances quatrièmes

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Ordre de 5 modulo 2^k

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Nombres de Fermat et divisibilité

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Somme de nombres triangulaires

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Carré de points invisibles depuis l'origine

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Suite croissante de nombres premiers en progression arithmétique

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Divisibilité par 24 de p²-1 pour p>3 premier

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Nombres composés de la forme 8^m+9m²

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Divisibilité par 133

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Entiers n tels que n⁴+4n³+6n²+4n+5 soit premier

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Facteurs premiers de $a^{c^k} - b^{c^k}$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Congruence cubique modulo $p^3$ pour $p \equiv 1 \pmod{3}$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Infinité de Fermat généralisés composés

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Primalité de n³+4 si n et n²+8 sont premiers

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Infinité de pseudo-nombres de Carmichael

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Derniers chiffres en base 2 de 27^1986

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Fonction additive avec conditions arithmétiques

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Divisibilité de différence de puissances

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Nombres premiers de la forme $k \cdot 2^n + 1$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Divisibilité de $2^{4^n} - 2$ par 7

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Implication sur divisibilité par 5 entre 2ⁿ + 3ᵐ et 2ᵐ + 3ⁿ

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équation quartique sans solution entière

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Multiple avec chiffres limités

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Non-divisibilité de $2^a + 3^b$ par 23

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Diviseurs premiers des repunits

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Nombres composés consécutifs

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Congruences et diviseurs communs

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Partage du trésor entre pirates et cuisinier

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

PGCD d'une somme de carrés

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Somme de puissances et non-divisibilité

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Divisibilité entre nombres de Fermat

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Primalité de n+90 sous conditions

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Solutions entières de $x^2 + y^2 + z^2 = x^2y^2$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Primalité : condition sur p²+q²+r²

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Divisibilité de la somme de puissances par la somme entière

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Différences de puissances entières dans des ensembles d'entiers

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Ordre de 2 modulo une puissance d'un nombre premier de Fermat

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équation symétrique cubique

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Racines rationnelles d'un polynôme

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Divisibilité par une puissance donnée pour un polynôme

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Moyenne arithmétique entière des diviseurs d'une puissance de deux premiers

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Valuation p-adique et zéros terminaux

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équation avec inverses et paramètre premier

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Divisibilité et nombres premiers avec 36

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Infinité de nombres premiers de formes spéciales

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Divisibilité par 40 avec deux carrés parfaits

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Formule pour le $n$-ième non-carré parfait

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équation diophantienne $21^x + 4^y = z^2$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inexistence d'un polynôme à valeurs prescrites

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Ensemble fermé par racine carrée et multiplication par 4

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Existence de solutions positives pour $x^3 + y^3 = 468^4$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Infinité de divisibilité polynomiale

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Déterminer si une somme de puissances est un carré parfait

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Divisibilité et puissances

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Cubes et puissances : détermination de $a$

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Divisibilité par 19 d'une expression

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Équation de Pell avec nombres premiers

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Primalité paire et forme 6k±1

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Trois équations diophantiennes sans solution

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Finitude des $n$ avec facteurs premiers dans un ensemble fini

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Ensemble d'entiers avec propriété de divisibilité

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Divisibilité par 1991 quand m se termine par 5

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Divisibilité par 9 et différences de carrés

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Chiffre initial commun de $2^n$ et $5^n$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Somme de plus grands diviseurs impairs

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Équation quadratique sans solutions entières

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Condition ppcm-pgcd implique divisibilité

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L'équation $x^3 + 3 = 4y(y + 1)$ n'a pas de solutions entières

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Divisibilité de $a^n - 1$ par $n$

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Ordre modulo un produit et ordre modulo 104

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Solutions entières de $\frac{x^7 - 1}{x - 1} = y^5 - 1$

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Progression arithmétique de nombres premiers et divisibilité

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Entier avec le maximum de diviseurs positifs parmi 1 à 2022

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Non-perfectibilité d'une expression quadratique

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Carré parfait et équation diophantienne

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Entiers dont la partie entière de la racine divise l'entier

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Non-divisibilité par 49 d'un polynôme

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Nombres premiers et carrés parfaits de Mersenne

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Divisibilité et polynôme quadratique

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Infinité de puissances composées en progression

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Différence d'exponentielles égale à un carré

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Caractérisation de $n$ tel que $p | x^n - 1 \Rightarrow p^2 | x^n - 1$

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Somme des chiffres et divisibilité par 9

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Divisibilité par 9 et forme quadratique

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Fonction multiplicative et additive sur les premiers

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Nombres premiers p tels que 2^p+p² soit premier

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PGCD de combinaisons linéaires

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PGCD de deux expressions linéaires

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Détermination des chiffres manquants de 34!

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Suite avec propriété PGCD invariante

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Entiers consécutifs composés

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Infinité de composés dans la suite aₙ = n⁴ + (n+1)⁴

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Congruence de puissances et réciproque

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Divisibilité de x⁶¹y - xy⁶¹ par 56786730

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Divisibilité entre somme et produit d'entiers

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Somme de puissances quatrièmes

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Suite avec nombre de premiers fixé

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Polynôme à valeurs premiers

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Plus grand entier pour la divisibilité

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Cycle de divisibilités avec carrés

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Nombre composé de la forme 521·12ⁿ+1

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Diviseurs premiers de $2^p - 1$ supérieurs à $p$

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Divisibilité de $(a+1)^n - a^n$

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Divisibilité de 3ⁿ+1 par n

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Déterminion des (a,b) tels que a⁴ + 4b⁴ soit premier

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L'équation diophantienne 15x² - 4y² = 3^z sans solutions

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Infinité de nombres premiers 6k-1

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Inégalités fonctionnelles coprimes

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Composite n⁵ + n⁴ + 1 pour n > 1

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Représentation d'entiers comme somme divisibilité

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Infinité de valeurs a rendant n⁴ + a composé

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Inégalité entre diviseurs consécutifs

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Entiers consécutifs sans puissance première

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Composabilité d'une expression avec puissances de 10

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Intégralité du nombre de Catalan

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Divisibilité par 120 et par 9

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Diviseurs premiers et congruences

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Suite récurrente et divisibilité par des puissances de 10

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Égalité de deux entiers par divisibilité itérée

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Unicité de factorisation en diviseurs avec différence bornée

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Sommes de carrés divisibles par un tiers terme

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PGCD d'une suite de puissances

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Polynômes envoyant premiers sur premiers

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Divisibilité des nombres de Fibonacci

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Trouver les entiers pour lesquels la divisibilité est satisfaite

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Inégalité pour différence de deux entiers

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Repunit et divisibilité par 999999

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Nombre à 20 chiffres commençant par onze 1

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Divisibilité par 24 de différence de carrés de premiers

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Primalité si p et p²+2 premiers

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Égalité de deux expressions symétriques en PGCD et PPCM

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Triplets satisfaisant trois équations symétriques en PGCD

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Ensembles finis clos par une opération sur PGCD

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Système avec carrés et produit

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Impossibilité d'une disposition circulaire avec quotient premier entre voisins

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Diviseur entre 1000 et 5000 d'une expression exponentielle

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Puissances septième dans une suite exponentielle

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PGCD de puissances avec propriété d'ordre

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Divisibilité par 3 d'une expression exponentielle

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Équation fractionnaire rationnelle

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Entiers $n$ pour lesquels il existe un unique $a$ tel que $n! \mid a^n + 1$

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Somme de puissances à trois exposants

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Factorielles et carrés parfaits

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Racine primitive modulo 29

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Divisibilité infinie implique égalité

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Diviseurs de différences de puissances et forme $1 + kp$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Nombre de diviseurs d(n²)/d(n) pour tous les entiers k impairs

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Somme de quatre entiers composée

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Carré parfait x-y si 3x²+x=4y²+y

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Congruence modulo $p^2$ avec conditions de puissances

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Forme modulo 8 des nombres premiers de la forme $x^2 + 2y^2$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Condition sur a pour que aⁿ + aⁿ⁻¹ + ... + a + 1 soit carré

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Sous-suite de repunits premiers entre eux

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Divisibilité d'un nombre avec 200 zéros

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équation diophantienne $3^x + 11^y = z^2$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité ad≠bc pour entiers dans un intervalle

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équation exponentielle en valeur absolue

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Entiers distincts avec congruences de produits

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équation diophantienne cubique exponentielle

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équation fonctionnelle linéaire avec produit et constante

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Non-primalité de ab+cd

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Problème des champignons : filles vs garçons

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Chiffre des unités d'une expression

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Carré parfait formé de six

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Entier "bon" et carrés parfaits

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Divisibilité consécutive (existence)

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Non-divisibilité de 2ⁿ-1 par n

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Divisibilité de $10^k - 1$ par 9

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Nombres premiers de la forme nⁿ + 1 jusqu'à 10¹⁹

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Premiers $p$ tels que $(p-1)^p + 1$ soit puissance de $p$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Nombres premiers $p$ tels que $p^2 + 11$ a exactement 6 diviseurs

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Système de congruences simple

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Puissance d'une somme de puissances premières

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Nombre premier de Mersenne et congruence

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équation diophantienne $2 \cdot 3^x = 5^y + 1$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Existence d'entiers $n$ tels que $9 \mid 7^n + n^3$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Nombres premiers de la forme 2^(2^n)+5

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Diviseurs premiers supérieurs à un seuil

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Factorisation et divisibilité par la somme

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Divisibilité et expression quadratique

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Système de congruences

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Congruence quadratique avec puissances de 2

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Infinité d'entiers et formes de diviseurs

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Propriétés de divisibilité d'une suite récurrente

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Infinité de nombres composés dans une suite

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Divisibilité avec puissances de 2

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Suites d'entiers et pgcd prescrit

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Plus petit entier dont une puissance se termine par 2016 chiffres 1

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Somme de carrés de cinq entiers consécutifs

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Entiers impairs diviseurs de $3^n + 1$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Fonction définie par récurrence avec condition spéciale

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Multiple contenant une suite de chiffres

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Fonction multiplicative avec condition particulière

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Somme de carrés divisible par n

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Divisibilité de $n^3 - 3$ par $n - 3$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Divisibilité de $3^n + 4n + 1$ par 8

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Divisibilité et produits croisés

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Entiers avec une propriété de divisibilité croisée

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Ensembles image d'une fonction définie récursivement

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Infinité de solutions pour divisibilité exponentielles

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équation fonctionnelle sur les sommes de cubes

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Polynômes tels que P(P(n)+n) soit premier

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Divisibilité pour couples d'entiers naturels

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Diviseurs impairs de $a^{2^n} + b^{2^n}$ modulo $2^{n+1}$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équation linéaire et quadratique mélangées

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Nombre avec 16 diviseurs et conditions spéciales

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Polynôme et divisibilité itérée

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Intégrité d'une expression avec coefficients binomiaux

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équation diophantienne cubique sans solutions

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Borne du pgcd par une condition fractionnaire

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Itération d'une fonction paire/impaire sur entiers

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Triplets $(a,b,c)$ avec divisibilité de $a^3 + b^3 + c^3$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Couples $(m,n)$ tels que $a^m + b^m$ divise $a^n + b^n$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Divisibilité d'une somme par un nombre premier

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Si 2^n-1 premier alors n premier

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Nombres de Fermat et primalité

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Solutions entières de $(n-1)! = n^k - 1$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Implication sur la compositionalité de $ab + cd$ par une égalité spécifique

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Infinité de nombres composés vérifiant une divisibilité exponentielle

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Bornes sur la somme de produits de diviseurs et divisibilité

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Distances distinctes de deux points à coordonnées entières

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Pourcentage minimum de nombres composés dans une suite exponentielle

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Suites de consécutifs contenant un nombre exact de premiers

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Nombres comme somme de 5 puissances de 2

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équation biquadratique sans solution non triviale

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Résolution de $x^3 + 8x^2 - 6x + 8 = y^3$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Carré parfait et congruence modulo 2

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équation de puissances croisées

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Infinité de puissances de 2 dans $\lfloor n\sqrt{2} \rfloor$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Condition de divisibilité pour deux carrés parfaits

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Non-divisibilité par 121 d'une expression quadratique

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Trois premiers consécutifs et somme de puissances quatrièmes

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Résolution de systèmes de congruences

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Factorielle sans certains chiffres

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Multiplicativité du nombre de solutions modulo m

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Zéros consécutifs dans l'écriture décimale de p^n

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Puissance n-ème sans solution entière positive

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Nombre de Sierpiński composé

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Divisibilité d'une expression rationnelle pour quatre valeurs consécutives

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Infinité de solutions avec exposants spécifiques

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Existence d'un premier $p$ ne divisant pas $n^m - m$ pour tout $n$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Infinité de premiers de forme $4m + 3$ divisant $2^{ny} + 1$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Plus grande puissance de 2 divisant un produit

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Reste de la division d'une somme de puissances

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Nombres composés dans une suite polynomiale

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Somme de puissances non divisible par n+2

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Partition avec somme divisible par 2n

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Suite d'entiers avec sommes divisibles par n²

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Polynôme avec solutions modulo 6 prescrites

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Fonction multiplicative avec condition sur PGCD

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Suite avec infinité de composés parmi les translatés

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Nombre de 1 consécutifs premier (repunit)

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Triplets d'entiers strictement positifs pour $1 + 4^x + 4^y = z^2$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équation diophantienne $2^x \cdot 3^y + 1 = 7^z$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Permutation de ℕ* avec sommes divisibles

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Existence d'un élément non divisible

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Non-divisibilité avec puissances

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Premiers $p$ et $q$ satisfaisant $p^3 - q^7 = p - q$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Cubes parfaits et équations diophantiennes

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Fonctions arithmétiques et ppcm-pgcd

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Divisibilité et puissances entières

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Reste de division d'un nombre binaire

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Divisibilité et sommes de puissances d'Euler

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Divisibilité de $3^{2^n} + 1$ par 2 mais non par 4

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Non-divisibilité de $2^n + 1$ par $2^m - 1$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Impossibilité d'une somme de puissances

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Divisibilité et expressions rationnelles

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Nombres premiers composés de chiffres 1 et 7

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Fonction avec divisibilité de puissance élevée

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Différence d'exponentielles avec bases 3 et 7

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équation fonctionnelle linéaire sur les entiers

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Existence d'une fonction satisfaisant trois conditions sur les premiers

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Paires d'entiers satisfaisant une équation ppcm-pgcd

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Fonction linéaire additively commutatif

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Polynôme à racines entières coprimales

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Fonctions injectves de N* dans N* avec formule fonctionnelle

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Divisibilité d'une somme de puissances

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Fonction définie par récurrence avec formule explicite basée sur le nombre d'or

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Partition de six entiers consécutifs avec produits égaux

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équation diophantienne en nombres naturels

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Fonction multiplicative avec somme sur les diviseurs

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Infinité de couples de premiers divisant $2^{p-1} + 2^{q-1} - 2$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Égalité du nombre de diviseurs pour les puissances

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

PGCD de moyennes arithmétiques

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité pour le PPCM de paires consécutives

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Diviseurs premiers de nombres de chiffres identiques

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Divisibilité de $a^n + b^n$ par $a + b$ avec $n$ pair

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Polynômes divisibles par une somme de carrés

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Divisibilité par 5 d'une somme de puissances

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Nombres premiers p et p³+p²+11p+2

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Nombres parfaits pairs

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Entiers avec exactement 12 diviseurs et condition sur leur produit

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Divisibilité d'une somme de puissances

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Difference de diviseurs pour produits de quatre premiers distincts

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Primalité du polynôme $k^2 + k + n$ sur un intervalle complet

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Solutions entières de $y^2 + y = x^4 + x^3 + x^2 + x$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Produit de quatre entiers consécutifs et carré parfait

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Factorisation de $7^{7^n} + 1$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Produit d'expressions linéaires égal à un multiple

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Théorème de Beatty : disjonction des suites $\lfloor \alpha n \rfloor$ et $\lfloor \beta n \rfloor$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Puissance k-ème d'une somme de puissances premières

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équations diophantiennes de degré 4

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec divisibilité et ordre multiplicatif

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Produits de deux nombres premiers avec différence constante

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équation exponentielle avec différence constante

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équation exponentielle avec prime $2^a + p^b = 19^a$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Divisibilité dans une suite de diviseurs

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Infinité de solutions d'un système polynomial

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Suite périodique modulo un entier

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Diviseurs des nombres de Fermat et congruence

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Plus petit nombre de cubes pour une somme

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Égalité d'entiers liés par des divisibilités cycliques

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Valuation 2-adique de $k^n - 1$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Ordre multiplicatif et non-divisibilité de $p^p - 1$ par $pk + 1$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Existence d'un $n$ tel que $x^{2^n} + y^{2^n}$ soit composé

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Solutions de $3^n = x^k + y^k$ en nombres premiers

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Caractérisation de $x$ tel que $2^{ny} + 1 \mid x^{2^n} - 1$ pour tout $n$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Solutions entières de $2^x + 3^y = z^2$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Égalité de ppcm implique égalité des nombres

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Non-divisibilité de $3^n + 1$ par $2^n$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Infinité d'entiers avec moyennes arithmétique et géométrique entières

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Entiers consécutifs non puissances de nombres premiers

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Nombres premiers $p$ et $q$ tels que $pq \mid (2^p + 1)(2^q + 1)$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Diviseurs et divisibilité par n²

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Suite contenant tous les nombres premiers ≥5

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Plus petit entier sous trois formes

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Congruence modulo $n^2$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Nombre composé dans un rapport de puissances

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Existence d'une fonction vérifiant une équation compositionnelle

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Diviseurs et puissances

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Plus petit n tel que 2^2021 divise 3^n - 1

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

PGCD de puissances de 2

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Suite de Selfridge : absence infinie de nombres premiers

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équation exponentielle en deux variables

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

PGCD de deux puissances de sommes

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Divisibilité entre expressions exponentielles

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Diviseurs de abc - 1

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Polynômes à valeurs premiers entre elles

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Fonction satisfaisant une condition de carré parfait

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Détermination univoque de l'exposant pour un nombre premier spécifique

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Entiers « bons » et sommes de fractions

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Diviseurs de n! et décomposition d'entiers

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Caractérisation de nombres par divisibilité

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Diviseurs premiers de $2^k - m$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Coefficient binomial divisible par deux premiers distincts

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Divisibilité et somme de carrés

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Entiers consécutifs divisibles par deux premiers

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Trois derniers chiffres d'une puissance

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Diviseurs finissant par 1, 9 comparés à ceux finissant par 3, 7

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Nombre de diviseurs de $2p_1p_2\cdots p_n + 1$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Diviseurs de sommes de puissances de 2 et congruences modulo $2^{n+1}$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Nombres premiers et puissances d'entiers

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Fonctions croissantes avec divisibilité

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Petit théorème de Fermat

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Divisibilité de $2^{32} + 1$ par 641

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Condition de divisibilité au carré

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Plus grand diviseur commun d'une expression

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Ensemble de courbes cubiques modulo p

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Divisibilité dans la suite de Fibonacci

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Suites additives et multiplicatives de diviseurs

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Fonctions croissantes avec divisibilité

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

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