PGCD de moyennes arithmétiques

National

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $n$ un entier impair, et $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ des entiers impairs. Montrer que :

$g cd (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) = g cd (\frac{a _{1} + a _{2}}{2}, \frac{a _{2} + a _{3}}{2}, \dots, \frac{a _{n} + a _{1}}{2}) .$