Congruence quadratique modulo $p^2$

National

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $p \geq 5$ un nombre premier, et $a, b$ des entiers tels que $a^{2} + ab + b^{2} \neq \equiv 0 (mod p)$ . Montrer que :

$(a + b)^{p} \equiv a^{p} + b^{p} (mod p^{2}) .$