Infinité de solutions d'un système polynomial

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Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Montrer que le système suivant admet une infinité de solutions entières :

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} = y^{5}$
$x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3} + x_{4}^{3} = z^{2}$
$x_{1}^{5} + x_{2}^{5} + x_{3}^{5} + x_{4}^{5} = t^{3}$

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