PGCD de puissances avec propriété d'ordre

National

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels strictement positifs. Montrer que :

$g cd (n^{a} - 1, n^{b} - 1) = n^{g c d (a, b)} - 1 et g cd (n^{a} + 1, n^{b} + 1) = n^{g c d (a, b)} + 1.$