Diviseurs impairs de $a^{2^n} + b^{2^n}$ modulo $2^{n+1}$

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Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $a, b$ deux entiers premiers entre eux, et $n$ un entier strictement positif. Montrer que tout diviseur positif et impair de $a^{2^{n}} + b^{2^{n}}$ est congru à $1$ modulo $2^{n + 1}$ .

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