Contre-exemples

La fonction $f(x)=|x|$ est continue sur $\mathbb{R}$, mais elle n'est pas dérivable en $0$ : le taux d'accroissement $\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{|x|}{x}$ vaut $+1$ à droite et $-1$ à gauche.

L'implication correcte est : dérivable $\Rightarrow$ continue. La réciproque est fausse.

Soit $f(x)=x^3$. On a $f^{\prime }(0)=0$, pourtant $f$ est strictement croissante : $0$ n'est pas un extremum (point d'inflexion à tangente horizontale).

$f^{\prime }(a)=0$ est nécessaire (si $f$ dérivable) mais pas suffisant. Il faut que $f^{\prime }$ change de signe en $a$.

$u_n=(-1{)}^n$ est bornée (dans $[-1;1]$) mais diverge : elle vaut alternativement $1$ et $-1$.

Le bon théorème : monotone et bornée $\Rightarrow$ convergente. « Bornée » seule ne suffit pas.

Soit $u_n=\sqrt{n}$. Alors $u_{n+1}-u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\to 0$, et pourtant $u_n=\sqrt{n}\to +\infty$.

$u_{n+1}-u_n\to 0$ n'entraîne pas la convergence : la suite peut « avancer » de plus en plus lentement tout en tendant vers $+\infty$.

C'est une forme indéterminée. En $+\infty$ :

$x\times \frac{1}{x}\to 1,x^2\times \frac{1}{x}\to +\infty ,x\times \frac{1}{x^2}\to 0.$

Trois fois « $0\times \infty$ », trois résultats différents.

$0\times \infty$, $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$, $\infty -\infty$ sont indéterminées : il faut lever l'indétermination.

Soit $f(x)=1-\frac{1}{x}$ sur $[1;+\infty [$. Elle est majorée par $1$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=1$, mais elle n'atteint jamais $1$ : il n'y a pas de maximum.

La borne supérieure (sup) n'est un maximum que si elle est atteinte. Majorée $\ne$ admet un max.

$f(x)=x^3$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, et pourtant $f^{\prime }(0)=0$.

Si $f^{\prime }>0$ sur un intervalle, $f$ y est strictement croissante. La réciproque est fausse : $f^{\prime }$ peut s'annuler en des points isolés.

Prenons $f(x)=g(x)=x$. Alors $(fg)(x)=x^2$ donc $(fg{)}^{\prime }(x)=2x$, tandis que $f^{\prime }(x)g^{\prime }(x)=1\times 1=1$. On a $2x\ne 1$.

La bonne formule est $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$. La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées.

$f(x)=|x|$ et $g(x)=-|x|$ ne sont pas dérivables en $0$, mais leur somme $f+g=0$ est dérivable partout.

Une « mauvaise » propriété peut se compenser dans une somme (ou un produit). On ne peut rien conclure sans étudier la fonction obtenue.

Soit $f(x)=x^2-1$ sur $[-2;2]$. On a $f(-2)=3>0$ et $f(2)=3>0$ (même signe), pourtant $f$ s'annule en $-1$ et $1$.

Le TVI donne une condition suffisante ($f(a)f(b)<0\Rightarrow$ une racine), pas nécessaire : même signe aux bornes n'interdit pas les racines.

Prenons $a=6$, $b=4$, $c=9$. Alors $bc=36$ et $6\mid 36$, pourtant $6\nmid 4$ et $6\nmid 9$.

Cette propriété n'est vraie que si $a$ est premier (lemme d'Euclide / de Gauss). Pour un $a$ quelconque, elle est fausse.

On lance un dé équilibré. Soit $A=\{2,4,6\}$ (« pair ») et $B=\{3,6\}$ (« multiple de $3$ »). Alors $P(A)=\frac{1}{2}$, $P(B)=\frac{1}{3}$ et $P(A\cap B)=P(\{6\})=\frac{1}{6}=P(A)\times P(B)$ : $A$ et $B$ sont indépendants. Pourtant $A\cap B=\{6\}\ne \varnothing$ : ils ne sont pas incompatibles.

Indépendants ($P(A\cap B)=P(A)P(B)$) et incompatibles ($A\cap B=\varnothing$) sont des notions différentes — souvent même contraires.

Prenons $z=2$ et $z^{\prime }=-2$. Alors $z^2=z^{\prime 2}=4$, pourtant $z\ne z^{\prime }$.

$z^2=z^{\prime 2}⟺z=z^{\prime }$ ou $z=-z^{\prime }$. On ne peut pas « simplifier les carrés » dans $\mathbb{C}$ (ni dans $\mathbb{R}$) sans considérer les deux cas.

Dans le plan, $\vec{u}=(1;0)$ et $\vec{v}=(0;1)$ vérifient $\Vert \vec{u}\Vert =\Vert \vec{v}\Vert =1$, mais $\vec{u}\ne \vec{v}$.

L'égalité des normes n'entraîne pas l'égalité des vecteurs : la norme ignore la direction et le sens.

Avec la propriété « $y>x$ » sur $\mathbb{R}$ :

• $\forall x,\exists y,y>x$ : VRAI (prendre $y=x+1$).
• $\exists y,\forall x,y>x$ : FAUX (pas de réel plus grand que tous).

L'ordre des quantificateurs change le sens. $\forall \exists$ et $\exists \forall$ ne sont pas équivalents.

Prenons $f(x)=x$ sur $I=\mathbb{R}$. La proposition « $\forall x,f(x)>0$ » est fausse. Sa vraie négation, « $\exists x,f(x)⩽0$ », est vraie (ex. $x=0$). Mais « $\forall x,f(x)<0$ » est aussi fausse : ce n'est donc pas la négation.

Nier $\forall$ donne $\exists$, et on nie l'inégalité : $\neg (\forall x,f(x)>0)$ est $\exists x,f(x)⩽0$ (et non « $\forall x,f(x)<0$ »).

Soit $u_n=n$ et $v_n=-n$. Les deux divergent (vers $+\infty$ et $-\infty$), pourtant $u_n+v_n=0$ converge vers $0$.

La somme de deux suites divergentes peut converger. Attention aux « $+\infty -\infty$ » : c'est une forme indéterminée.

Sur $\mathbb{R}$, $f(x)=x$ et $g(x)=2x$ sont croissantes, mais $(f-g)(x)=-x$ est décroissante.

La somme de deux fonctions croissantes est croissante, mais la différence ne l'est pas en général : tout dépend des « vitesses » de croissance.

Prenons $x=-3$ et $y=2$. Alors $x^2=9>4=y^2$, pourtant $x=-3<2=y$.

La fonction carré n'est croissante que sur $[0;+\infty [$. La bonne équivalence est $x^2>y^2⟺|x|>|y|$.

Prenons $a=b=\frac{\pi }{2}$. Alors $\sin (a+b)=\sin (\pi )=0$, tandis que $\sin a+\sin b=1+1=2$. On a $0\ne 2$.

La bonne formule est $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$. Le sinus (comme $\cos$, $\ln$, $\sqrt{;}$…) n'est pas linéaire.

Avec $a=9$ et $b=16$ : $\sqrt{a+b}=\sqrt{25}=5$, mais $\sqrt{a}+\sqrt{b}=3+4=7$. On a $5\ne 7$.

La racine d'une somme n'est pas la somme des racines. En général $\sqrt{a+b}\ne \sqrt{a}+\sqrt{b}$.

Pour $x=-3$ : $\sqrt{x^2}=\sqrt{9}=3$, alors que $x=-3$. On a $\sqrt{x^2}=3\ne -3$.

La formule correcte est $\sqrt{x^2}=|x|$, valable pour tout réel $x$. On n'a $\sqrt{x^2}=x$ que si $x⩾0$.

Avec $a=b=1$ : $(a+b{)}^2=2^2=4$, mais $a^2+b^2=1+1=2$. On a $4\ne 2$.

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ : le double produit $2ab$ est oublié dans le piège.

On lance un dé équilibré, $A=\{2,4,6\}$ et $B=\{3,6\}$. Alors $A\cup B=\{2,3,4,6\}$ donc $P(A\cup B)=\frac{4}{6}$, tandis que $P(A)+P(B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$. On a $\frac{4}{6}\ne \frac{5}{6}$.

La formule générale est $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. On a $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ seulement si $A$ et $B$ sont incompatibles.

Avec $a=b=1$ : $\ln (a+b)=\ln 2\approx 0,69$, mais $\ln a+\ln b=\ln 1+\ln 1=0$. On a $\ln 2\ne 0$.

La vraie propriété est $\ln (ab)=\ln a+\ln b$ (pour $a,b>0$). C'est le logarithme d'un produit, pas d'une somme.

Soit $f(x)=x$ sur $[-1;1]$. Alors $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}xdx=0$ donc $\left|\underset{-1}{\overset{1}{\int }}xdx\right|=0$, tandis que $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}|x|dx=1$. On a $0\ne 1$.

On a seulement l'inégalité $\left|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\right|⩽\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f|$ : les parties négatives de $f$ se compensent dans l'intégrale, pas dans celle de $|f|$.

Prenons $\vec{u}=(1;0)$, $\vec{v}=(0;1)$ et $\vec{w}=(0;5)$. Alors $\vec{u}\cdot \vec{v}=0=\vec{u}\cdot \vec{w}$, pourtant $\vec{v}\ne \vec{w}$.

On ne peut pas « simplifier par $\vec{u}$ » dans un produit scalaire. $\vec{u}\cdot \vec{v}=\vec{u}\cdot \vec{w}$ signifie $\vec{u}\cdot (\vec{v}-\vec{w})=0$, c'est-à-dire $\vec{u}\perp (\vec{v}-\vec{w})$.

Modulo $8$ : $3^2=9\equiv 1$ et $5^2=25\equiv 1$, donc $3^2\equiv 5^2[8]$. Pourtant $3\not\equiv 5[8]$.

On ne peut pas « prendre la racine » dans une congruence : $a^2\equiv b^2[n]$ donne $n\mid (a-b)(a+b)$, ce qui n'impose pas $n\mid a-b$.

Soit $f(x)=\sqrt{x}$ (croissante) et $u_0=4$. Alors $u_1=\sqrt{4}=2<u_0$ : la suite décroît.

Quand $f$ est croissante, $(u_n)$ est monotone, mais son sens dépend de la comparaison entre $u_0$ et $u_1$ : croissante si $u_1⩾u_0$, décroissante sinon.

En $+\infty$, $f(x)=x$ et $g(x)=x$ tendent toutes deux vers $+\infty$, mais $f(x)-g(x)=0\to 0$. Avec $f(x)=x^2$ et $g(x)=x$, on aurait au contraire $f-g\to +\infty$.

$\infty -\infty$ est une forme indéterminée : le résultat dépend des « vitesses » de $f$ et $g$. Il faut comparer leurs croissances.