Divisibilité de la somme de puissances par la somme entière

National

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soit $k$ entier naturel impair. Montrer que $(1 + 2 + \dots + n)$ divise $(1^{k} + 2^{k} + \dots + n^{k})$ pour tout $n \in N^{*}$ .