Nombres de Fermat et primalité

Régional

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soit $k \in N^{*}$ . Montrer que, si $2^{k} + 1$ est premier, alors $k$ est une puissance de 2.
Les nombres $F_{n} = 2^{2^{n}} + 1$ ( $n \in N$ ) sont appelés nombres de Fermat. Ils ne sont pas tous premiers, par exemple $641 ∣ F_{5}$ . Montrer, pour tout $(m, n) \in N^{2}$ , que : $m \neq = n ⟹ F_{m} \land F_{n} = 1.$

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