Entiers distincts avec congruences de produits

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Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soit $n \geq 3$ un entier. Montrer qu'il existe $n$ entiers strictement positifs $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ , deux à deux distincts, et tels que :

$a_{1} a_{2} \dots a_{i - 1} a_{i + 1} \dots a_{n} \equiv 1 (mod a_{i})$ pour tout $1 \leq i \leq n$ .