Fonction définie par récurrence avec formule explicite basée sur le nombre d'or

La fonction $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ est définie par $f(1)=1$ et

$$\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad f(n+1) = \begin{cases} f(n) + 2 & \text{si } n = f(f(n) - n + 1) \\ f(n) + 1 & \text{sinon}. \end{cases} $$

1. Montrer que : $f(f(n)-n+1)\in \{n,n+1\}$.
2. Trouver une formule explicite pour $f$.