Différences de puissances entières dans des ensembles d'entiers

① Existence pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Montrer que pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, il existe $a,b\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}$ tels que l'ensemble

$$A_n=\left\{a-b,a^2-b^2,a^3-b^3,\dots ,a^n-b^n\right\}$$

contienne uniquement des entiers strictement positifs.

② Cas général

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que l'ensemble

$$A=\left\{a^k-b^k:k\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}$$

contienne uniquement des entiers strictement positifs. Montrer que $a$ et $b$ sont des entiers.