Congruence cubique modulo $p^3$ pour $p \equiv 1 \pmod{3}$

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Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $p$ un nombre premier de la forme $3 k + 1$ , et $n$ un entier vérifiant $n^{2} + n + 1 \equiv 0 (mod p)$ . Montrer que :

$(n + 1)^{p} \equiv n^{p} + 1 (mod p^{3}) .$