Égalité du nombre de diviseurs pour les puissances

Soit $d(n)$ le nombre de diviseurs strictement positifs de l'entier $n$. Soient $a$ et $b$ deux entiers strictement positifs donnés. On suppose qu'il existe une infinité d'entiers $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tels que $d(a^m)\ge d(b^m)$, et qu'il existe une infinité d'entiers $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tels que $d(a^n)\le d(b^n)$.

Montrer que :

$$d(a^k)=d(b^k)\forall k\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$