Diviseurs premiers de $a^2 + 1$

Soit $p$ un nombre premier et $a$ un entier tels que $p\mid a^2+1$.

1. Montrer que $p$ ne divise pas $a$, puis que l'ordre multiplicatif de $a$ modulo $p$ est égal à $4$ lorsque $p$ est impair.
2. En utilisant le petit théorème de Fermat, en déduire que $p=2$ ou $p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$.
3. Application : démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à $1$ modulo $4$.