Nombre de diviseurs de $2p_1p_2\cdots p_n + 1$

Soient $n\ge 1$ un entier, et $p_1,p_2,\dots ,p_n$ des nombres premiers distincts tous $\ge 5$. Montrer que $2^{p_1{p}_2\cdots p_n}+1$ possède au moins $4^n$ diviseurs différents.

(Proposé à l'OIM, 2002)