Diviseurs et divisibilité par n²

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Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

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Soit $n$ un entier strictement plus grand que 1. On note $d_{1}, d_{2}, \dots, d_{k}$ les diviseurs positifs de $n$ avec $1 = d_{1} < d_{2} < \dots < d_{k} = n$ . On pose $D = d_{1} d_{2} + d_{2} d_{3} + \dots + d_{k - 1} d_{k}$ .

Montrer que $D < n^{2}$ .
Trouver tous les entiers $n$ tels que $D$ divise $n^{2}$ .

(OIM, 2002)

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