Égalité d'entiers liés par des divisibilités cycliques

Régional

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k}$ des entiers strictement positifs tels que :

$n_{1} ∣ (2^{n_{2}} - 1)$ , $n_{2} ∣ (2^{n_{3}} - 1)$ , $\dots$ , $n_{k} ∣ (2^{n_{1}} - 1)$ .

Montrer que $n_{1} = n_{2} = \dots = n_{k}$ .