Divisibilité et sommes de puissances d'Euler

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Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

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Soit $n > 1$ un entier tel que $n$ divise $2^{ϕ (n)} + 3^{ϕ (n)} + \dots + n^{ϕ (n)}$ . Si $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{k}$ sont tous les diviseurs premiers de $n$ (sans multiplicité), montrer que :

$\frac{1}{p _{1}} + \frac{1}{p _{2}} + \dots + \frac{1}{p _{k}} + \frac{1}{p _{1} p _{2} \dots p _{k}}$ est un entier.

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