Ensembles finis clos par une opération sur PGCD

Déterminer les ensembles $S$, non vides et finis, d'entiers naturels strictement positifs tels que :

$$i,j\in S⟹\frac{i+j}{\gcd (i,j)}\in S.$$

Remarque : $i$ et $j$ ne sont pas nécessairement distincts. (États-Unis)