Nombre de diviseurs d(n²)/d(n) pour tous les entiers k impairs

Pour tout entier $n$ strictement positif, on désigne par $d(n)$ le nombre de diviseurs positifs de $n$ (y compris 1 et $n$). Trouver tous les entiers strictement positifs $k$ pour lesquels il existe $n$ tel que : $$\frac{d(n^2)}{d(n)}=k.$$

(OIM, 1998)