Ensembles image d'une fonction définie récursivement

Soit $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ la fonction définie par :

$$f(n) = \begin{cases} 1 & \text{si } n \leq 2021; \\ f(f(n-1)) + f(n - f(n-1)) & \text{si } n > 2021. \end{cases}$$

Pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose $A_n=\{k\in {\mathbb{N}}^{\ast }:f(k)=n\}$.

Montrer que $A_n$ est un ensemble non vide, fini, formé d'entiers consécutifs.