⚡ 233 réflexes · SM · Sciences Exp · 1 Bac

Le bon réflexe

Un bon élève ne « cherche » pas au hasard : il reconnaît le type de question et déclenche la bonne méthode. Cette page rassemble, chapitre par chapitre, les réflexes qui font gagner du temps (et des points) à l'examen.

Pour chaque situation : ce que tu vois dans l'énoncé, le réflexe à déclencher, et un exemple express.

Limites & continuité 10

👁️ Tu vois

Une limite de la forme

\frac{0}{0}

avec des polynômes

⚡ Le réflexe

Factorise le numérateur et le dénominateur (souvent par

(x - a)

), puis simplifie.

Ex :

x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x \to 1 lim \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x - 1} = 2

👁️ Tu vois

Une forme

\frac{0}{0}

avec des racines carrées

⚡ Le réflexe

Multiplie par la quantité conjuguée pour faire disparaître la racine.

Ex :

\frac{x - 2}{x - 4} = \frac{1}{x + 2} x \to 4 \frac{1}{4}

👁️ Tu vois

Une limite en

\pm \infty

d'un quotient de polynômes

⚡ Le réflexe

Factorise par le terme dominant (la plus haute puissance) en haut et en bas.

Ex :

\frac{3 x ^{2} - x}{2 x ^{2} + 1} \sim \frac{3 x ^{2}}{2 x ^{2}} x \to + \infty \frac{3}{2}

👁️ Tu vois

Montrer que

f

est continue en $a$ (définie par morceaux)

⚡ Le réflexe

Vérifie

x \to a^{-} lim f = x \to a^{+} lim f = f (a)

Ex :

f (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}

f (2) = 4

x \to 2 lim f = 4 = f (2)

👁️ Tu vois

Montrer que l'équation

f (x) = 0

admet une solution

⚡ Le réflexe

TVI :

f

continue et

f (a) f (b) < 0

. Pour l'unicité, ajoute la stricte monotonie.

Ex :

f (x) = x^{3} + x - 1

f (0) = - 1 < 0

f (1) = 1 > 0

⇒ racine dans

] 0; 1 [

👁️ Tu vois

Une limite avec

sin (a x)

tan (a x)

qui tend vers

\frac{0}{0}

⚡ Le réflexe

Limites trigonométriques de référence :

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1

x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x ^{2}} = \frac{1}{2}

. Factoriser pour les faire apparaître.

Ex :

x \to 0 lim \frac{sin ( 3 x )}{x} = 3 x \to 0 lim \frac{sin ( 3 x )}{3 x} = 3

👁️ Tu vois

Une forme

\infty - \infty

avec des racines carrées

⚡ Le réflexe

Multiplier par la quantité conjuguée

A + B

pour transformer en quotient, puis lever l'indétermination.

Ex :

x^{2} + x - x = \frac{x}{x ^{2} + x + x} x \to + \infty \frac{1}{2}

👁️ Tu vois

Une limite avec une partie entière

⌊ x ⌋

ou un encadrement

⚡ Le réflexe

Théorème des gendarmes : encadrer

g (x) ⩽ f (x) ⩽ h (x)

avec

g, h

de même limite.

Ex :

x - 1 < ⌊ x ⌋ ⩽ x \Rightarrow x \to + \infty lim \frac{⌊ x ⌋}{x} = 1

👁️ Tu vois

Montrer qu'une fonction continue strictement monotone réalise une bijection

⚡ Le réflexe

Théorème de la bijection :

f

continue et strictement monotone sur

I

est une bijection de

I

sur

f (I)

; sa réciproque

f^{- 1}

est continue de même monotonie.

Ex :

f (x) = x^{3} + x

continue, strictement croissante sur

R

, donc bijective de

R

sur

R

👁️ Tu vois

Prolonger par continuité en un point

a

où

f

n'est pas définie

⚡ Le réflexe

Prolongement par continuité : si

x \to a lim f (x) = ℓ

existe (finie), poser

\tilde{f} (a) = ℓ

rend

\tilde{f}

continue en

a

Ex :

f (x) = \frac{sin x}{x}

se prolonge par

\tilde{f} (0) = 1

Suites numériques 10

👁️ Tu vois

Une suite récurrente

u_{n + 1} = f (u_{n})

⚡ Le réflexe

Étudie

f

(monotonie), le signe de

u_{n + 1} - u_{n}

, et encadre

(u_{n})

par récurrence.

Ex :

u_{n + 1} = u_{n} + 2

f (x) = x + 2

croissante

👁️ Tu vois

Prouver une propriété pour tout $n$

⚡ Le réflexe

Récurrence : initialisation + hérédité.

Ex : Montrer

k = 0 \sum n k = \frac{n ( n + 1 )}{2}

par récurrence

👁️ Tu vois

Montrer qu'une suite converge

⚡ Le réflexe

Montre qu'elle est croissante et majorée (ou décroissante et minorée).

Ex :

u_{n}

croissante et

u_{n} ⩽ 3

⇒

(u_{n})

converge

👁️ Tu vois

Une suite récurrente convergente, on cherche sa limite $ℓ$

⚡ Le réflexe

Résous l'équation

f (ℓ) = ℓ

(point fixe).

Ex :

u_{n + 1} = \frac{u _{n} + 2}{2} \Rightarrow ℓ = \frac{ℓ + 2}{2} \Rightarrow ℓ = 2

👁️ Tu vois

Une somme

u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}

⚡ Le réflexe

Reconnais si la suite est arithmétique ou géométrique et applique la formule.

Ex :

1 + q + \dots + q^{n} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}

(

q \neq = 1

)

👁️ Tu vois

Deux suites

(u_{n})

croissante et

(v_{n})

décroissante avec

u_{n} ⩽ v_{n}

v_{n} - u_{n} \to 0

⚡ Le réflexe

Suites adjacentes : elles convergent vers une même limite

ℓ

, avec

u_{n} ⩽ ℓ ⩽ v_{n}

Ex :

u_{n} = 1 - \frac{1}{n}, v_{n} = 1 + \frac{1}{n}

sont adjacentes et convergent vers

1

👁️ Tu vois

Une suite définie par

u_{n + 1} = f (u_{n})

avec

∣ f^{'} (x) ∣ ⩽ k < 1

⚡ Le réflexe

Inégalité des accroissements finis :

∣ u_{n + 1} - ℓ ∣ ⩽ k ∣ u_{n} - ℓ ∣

, donc

∣ u_{n} - ℓ ∣ ⩽ k^{n} ∣ u_{0} - ℓ ∣ \to 0

Ex : Si

∣ f^{'} ∣ ⩽ \frac{1}{2}

f (ℓ) = ℓ

∣ u_{n} - ℓ ∣ ⩽ (\frac{1}{2})^{n} ∣ u_{0} - ℓ ∣

👁️ Tu vois

Encadrer une suite par une suite géométrique ou comparer

u_{n}

r^{n}

⚡ Le réflexe

Comparaison / gendarmes pour suites : si

0 ⩽ u_{n} ⩽ r^{n}

avec

0 < r < 1

, alors

u_{n} \to 0

Ex :

0 ⩽ \frac{n}{2 ^{n}} ⩽ (\frac{3}{4})^{n}

pour

n ⩾ 4

, donc

\frac{n}{2 ^{n}} \to 0

👁️ Tu vois

Étudier une suite

v_{n} = \frac{u _{n} - b}{u _{n} - a}

déduite d'une suite homographique

⚡ Le réflexe

Suite auxiliaire géométrique : poser

v_{n}

bien choisie pour qu'elle soit géométrique, calculer

v_{n}

, puis revenir à

u_{n}

Ex : Si

u_{n + 1} = \frac{u _{n}}{1 + u _{n}}

, alors

v_{n} = \frac{1}{u _{n}}

est arithmétique :

v_{n} = v_{0} + n

👁️ Tu vois

Une expression du type

(1 + \frac{a}{n})^{n}

ou un produit de termes

⚡ Le réflexe

Passer au $ln$ : étudier

ln u_{n} = n ln (1 + \frac{a}{n})

et utiliser

ln (1 + t) \sim t

Ex :

ln (1 + \frac{1}{n})^{n} = n ln (1 + \frac{1}{n}) \to 1

, donc

u_{n} \to e

Dérivation & étude de fonctions 10

👁️ Tu vois

On demande le sens de variation

⚡ Le réflexe

Étudie le signe de $f^{'} (x)$ et dresse le tableau de variations.

Ex :

f (x) = x^{2} - 2 x

f^{'} (x) = 2 x - 2

: décroît puis croît en

x = 1

👁️ Tu vois

Montrer une inégalité

f (x) ⩾ g (x)

⚡ Le réflexe

Étudie

h = f - g

: son signe via sa dérivée (souvent un minimum

⩾ 0

Ex :

e^{x} ⩾ x + 1

h (x) = e^{x} - x - 1

, minimum

h (0) = 0

👁️ Tu vois

Une tangente en

x = a

⚡ Le réflexe

y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)

Ex :

f (x) = x^{2}

1

y = 2 (x - 1) + 1 = 2 x - 1

👁️ Tu vois

On majore

∣ f (b) - f (a) ∣

⚡ Le réflexe

Inégalité des accroissements finis :

∣ f (b) - f (a) ∣ ⩽ M ∣ b - a ∣

Ex :

∣ sin b - sin a ∣ ⩽ ∣ b - a ∣

car

∣ cos ∣ ⩽ 1

👁️ Tu vois

Un extremum en

a

⚡ Le réflexe

f^{'} (a) = 0

f^{'}

change de signe en

a

Ex :

f (x) = x^{3}

f^{'} (0) = 0

mais aucun extremum

👁️ Tu vois

Une forme indéterminée

\frac{0}{0}

ou un taux

\frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}

à reconnaître

⚡ Le réflexe

Nombre dérivé comme limite : reconnaître

x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = f^{'} (a)

Ex :

x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = (exp)^{'} (0) = 1

👁️ Tu vois

Une fonction composée

f = g \circ u

u

\frac{1}{u}

à dériver

⚡ Le réflexe

Dérivée d'une composée :

(g \circ u)^{'} = u^{'} \cdot (g^{'} \circ u)

(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}

Ex :

(x^{2} + 1)^{'} = \frac{2 x}{2 x ^{2} + 1} = \frac{x}{x ^{2} + 1}

👁️ Tu vois

Une branche infinie : étudier le comportement de la courbe en

\pm \infty

⚡ Le réflexe

Asymptote oblique : si

x \to + \infty lim (f (x) - (a x + b)) = 0

, la droite

y = a x + b

est asymptote ; sinon étudier

\frac{f ( x )}{x}

Ex :

f (x) = x + \frac{1}{x}

f (x) - x = \frac{1}{x} \to 0

, asymptote

y = x

👁️ Tu vois

Étudier la convexité ou chercher un point d'inflexion

⚡ Le réflexe

Signe de $f^{''}$ :

f^{''} > 0 \Rightarrow

convexe,

f^{''} < 0 \Rightarrow

concave ;

f^{''}

s'annule en changeant de signe

\Rightarrow

point d'inflexion.

Ex :

f (x) = x^{3}

f^{''} (x) = 6 x

change de signe en

0

, inflexion en

O

👁️ Tu vois

Une fonction

f

bijective dont on veut la dérivée de

f^{- 1}

⚡ Le réflexe

Dérivée de la réciproque :

(f^{- 1})^{'} (y) = \frac{1}{f ^{'} ( f ^{- 1} ( y ) )}

f^{'} (f^{- 1} (y)) \neq = 0

Ex :

f (x) = x^{3}, f^{- 1} (y) = y^{1/3}

(f^{- 1})^{'} (8) = \frac{1}{f ^{'} ( 2 )} = \frac{1}{12}

Fonctions logarithmiques 9

👁️ Tu vois

Une équation/inéquation avec

ln

⚡ Le réflexe

Cherche d'abord le domaine (ce qui est sous

ln

doit être

> 0

), puis utilise que

ln

est strictement croissante et bijective.

Ex :

ln (x - 1) = ln 3 ⟺ x - 1 = 3 ⟺ x = 4

(avec

x > 1

)

👁️ Tu vois

ln

d'un produit, quotient ou puissance

⚡ Le réflexe

Casse avec les propriétés :

ln (ab) = ln a + ln b

ln \frac{a}{b} = ln a - ln b

ln (a^{n}) = n ln a

Ex :

ln (x^{2}) = 2 ln ∣ x ∣

👁️ Tu vois

Une limite avec

ln

+ \infty

ou en

0^{+}

⚡ Le réflexe

Pense aux croissances comparées :

x

l'emporte sur

ln x

Ex :

x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0

👁️ Tu vois

Dériver

ln (u (x))

⚡ Le réflexe

(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}

(avec

u > 0

Ex :

(ln (x^{2} + 1))^{'} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}

👁️ Tu vois

Une primitive de la forme

\frac{u ^{'} ( x )}{u ( x )}

⚡ Le réflexe

Reconnaître une primitive en

ln ∣ u (x) ∣

. Si

u > 0

sur l'intervalle, primitive

= ln (u (x)) + C

Ex :

\int \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x = ln (x^{2} + 1) + C

👁️ Tu vois

Étudier le signe de

ln x

ou résoudre

ln x ≶ 0

⚡ Le réflexe

Utiliser que

ln

est strictement croissante et

ln 1 = 0

ln x > 0 ⟺ x > 1

ln x < 0 ⟺ 0 < x < 1

Ex :

ln x > 0 ⟺ x > 1

;

ln x < 0 ⟺ 0 < x < 1

👁️ Tu vois

Une limite du type

\frac{ln x}{x ^{n}}

x^{n} ln x

(croissances comparées)

⚡ Le réflexe

Appliquer les croissances comparées :

x \to + \infty lim \frac{ln x}{x ^{n}} = 0

x \to 0^{+} lim x^{n} ln x = 0

(

n > 0

Ex :

x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0

👁️ Tu vois

Une limite avec

\frac{ln ( 1 + x )}{x}

0

⚡ Le réflexe

Reconnaître le taux de variation de

ln

1

x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1

Ex :

x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + 3 x )}{x} = 3

👁️ Tu vois

Une fonction

ln

composée, on veut sa bijection réciproque

⚡ Le réflexe

ln :] 0, + \infty [\to R

est une bijection de réciproque

exp

. Résoudre

ln (f (x)) = y

par

f (x) = e^{y}

Ex :

ln (2 x) = 3 ⟺ 2 x = e^{3} ⟺ x = \frac{e ^{3}}{2}

Fonctions exponentielles 9

👁️ Tu vois

Une équation/inéquation avec

e^{x}

⚡ Le réflexe

Utilise

e^{a} = e^{b} ⟺ a = b

e^{a} < e^{b} ⟺ a < b

. Rappel :

e^{x} > 0

toujours.

Ex :

e^{2 x} = e^{x + 1} ⟺ 2 x = x + 1 ⟺ x = 1

👁️ Tu vois

Une limite avec

e^{x}

⚡ Le réflexe

Croissances comparées :

e^{x}

l'emporte sur toute puissance de

x

Ex :

x \to + \infty lim x e^{- x} = 0

👁️ Tu vois

Dériver

e^{u (x)}

⚡ Le réflexe

(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}

Ex :

(e^{x^{2}})^{'} = 2 x e^{x^{2}}

👁️ Tu vois

Simplifier une expression avec exp et ln

⚡ Le réflexe

e^{l n a} = a

(

a > 0

) et

ln (e^{x}) = x

Ex :

e^{2 l n x} = (e^{l n x})^{2} = x^{2}

(

x > 0

)

👁️ Tu vois

Une limite du type

\frac{e ^{x}}{x ^{n}}

x^{n} e^{x}

\pm \infty

⚡ Le réflexe

Croissances comparées :

x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{n}} = + \infty

x \to - \infty lim x^{n} e^{x} = 0

Ex :

x \to - \infty lim x e^{x} = 0

👁️ Tu vois

Une limite avec

\frac{e ^{x} - 1}{x}

0

⚡ Le réflexe

Reconnaître le taux de variation de

exp

0

x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1

Ex :

x \to 0 lim \frac{e ^{2 x} - 1}{x} = 2

👁️ Tu vois

Une primitive de la forme

u^{'} (x) e^{u (x)}

⚡ Le réflexe

Primitive immédiate :

\int u^{'} (x) e^{u (x)} d x = e^{u (x)} + C

Ex :

\int 2 x e^{x^{2}} d x = e^{x^{2}} + C

👁️ Tu vois

Une fonction avec

e^{x}

dont on cherche une asymptote

⚡ Le réflexe

- \infty

e^{x} \to 0

donne souvent une asymptote horizontale ; étudier

f (x) - (a x + b)

pour une asymptote oblique.

Ex :

f (x) = x + e^{- x}

: asymptote oblique

y = x

+ \infty

👁️ Tu vois

Étudier la parité de

cosh

sinh

ou une expression

e^{x} \pm e^{- x}

⚡ Le réflexe

Poser

f (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

(paire) ou

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

(impaire) et vérifier

f (- x)

Ex :

f (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} \Rightarrow f (- x) = - f (x)

Équations différentielles 9

👁️ Tu vois

y^{'} = a y

⚡ Le réflexe

Solutions :

x \mapsto C e^{a x}

Ex :

y^{'} = 2 y \Rightarrow y = C e^{2 x}

👁️ Tu vois

y^{'} = a y + b

⚡ Le réflexe

Cherche une solution particulière constante

y_{p} = - \frac{b}{a}

, puis ajoute l'homogène.

Ex :

y^{'} = 2 y + 4 \Rightarrow y_{p} = - 2, y = C e^{2 x} - 2

👁️ Tu vois

y^{''} + ω^{2} y = 0

⚡ Le réflexe

Solutions :

x \mapsto A cos (ω x) + B sin (ω x)

Ex :

y^{''} + 4 y = 0 \Rightarrow y = A cos (2 x) + B sin (2 x)

👁️ Tu vois

Des conditions initiales

y (x_{0}), y^{'} (x_{0})

⚡ Le réflexe

Injecte-les dans la solution générale pour déterminer les constantes.

Ex :

y (0) = 1

dans

y = C e^{2 x} \Rightarrow C = 1

👁️ Tu vois

y^{'} + a y = b

avec

a

constant (forme

y^{'} = - a y + b

)

⚡ Le réflexe

Solution générale

y (x) = C e^{- a x} + \frac{b}{a}

; la constante

\frac{b}{a}

est la solution particulière (point d'équilibre).

Ex :

y^{'} + 2 y = 6 \Rightarrow y = C e^{- 2 x} + 3

👁️ Tu vois

Une équation

y^{'} = a y

issue d'un problème (désintégration, refroidissement)

⚡ Le réflexe

Modéliser : la dérivée proportionnelle à la quantité donne

y = y_{0} e^{a x}

; identifier

a

via une donnée.

Ex :

N^{'} = - 0, 1 N, N (0) = 100 \Rightarrow N = 100 e^{- 0, 1 x}

👁️ Tu vois

On cherche une solution particulière puis la solution générale

⚡ Le réflexe

Solution générale = solution particulière

+

solution générale de l'équation homogène associée.

Ex :

y^{'} - y = 2

: part.

y_{p} = - 2

, hom.

C e^{x}

, donc

y = C e^{x} - 2

👁️ Tu vois

Un changement de fonction

z = y - k

proposé pour se ramener à

z^{'} = a z

⚡ Le réflexe

Poser

z = y - k

(avec

k

l'équilibre), alors

z^{'} = y^{'}

et l'équation devient homogène

z^{'} = a z

, résolue en

z = C e^{a x}

Ex :

y^{'} = 3 (y - 5)

z = y - 5 \Rightarrow z^{'} = 3 z \Rightarrow y = 5 + C e^{3 x}

👁️ Tu vois

y^{''} + ω^{2} y = 0

avec amplitude/phase ou

y (0), y^{'} (0)

donnés

⚡ Le réflexe

Solution

y = A cos (ω x) + B sin (ω x)

; déterminer

A, B

par les conditions, ou écrire sous forme

R cos (ω x - φ)

Ex :

y^{''} + 4 y = 0, y (0) = 1, y^{'} (0) = 0 \Rightarrow y = cos (2 x)

Nombres complexes 10

👁️ Tu vois

On demande la nature d'un triangle

A B C

⚡ Le réflexe

Calcule

\frac{c - a}{b - a}

: son module compare les longueurs, son argument donne l'angle.

Ex :

\frac{c - a}{b - a} = i

⇒ rectangle isocèle en

A

👁️ Tu vois

Montrer que trois points sont alignés

⚡ Le réflexe

\frac{c - a}{b - a} \in R

Ex :

\frac{c - a}{b - a} = 2 \in R

⇒

A, B, C

alignés

👁️ Tu vois

Un triangle rectangle / une orthogonalité

⚡ Le réflexe

\frac{c - a}{b - a}

est imaginaire pur.

Ex :

\frac{c - a}{b - a} = - i

⇒

A = \frac{π}{2}

👁️ Tu vois

On demande une puissance

z^{n}

⚡ Le réflexe

Mets

z

sous forme trigonométrique et applique Moivre.

Ex :

(1 + i)^{8} = (2)^{8} e^{i 2 π} = 16

👁️ Tu vois

Un lieu de points

M (z)

⚡ Le réflexe

Pose

z = x + i y

, ou interprète

∣ z - a ∣ = r

(cercle).

Ex :

∣ z - i ∣ = 2

⇒ cercle de centre

Ω (i)

, rayon

2

👁️ Tu vois

Mettre un complexe sous forme trigonométrique / exponentielle

⚡ Le réflexe

Calcule le module

r = ∣ z ∣

puis un argument

θ

via

cos θ = \frac{a}{r}, sin θ = \frac{b}{r}

, et écris

z = r e^{i θ}

Ex :

z = 1 + i \Rightarrow r = 2, θ = \frac{π}{4}, z = 2 e^{iπ /4}

👁️ Tu vois

Une rotation de centre

Ω (ω)

et d'angle

θ

⚡ Le réflexe

Utilise l'écriture complexe $z^{'} - ω = e^{i θ} (z - ω)$ pour trouver l'image ou l'antécédent.

Ex : Rotation centre

O

, angle

\frac{π}{2}

z^{'} = e^{iπ /2} z = i z

👁️ Tu vois

Résoudre

z^{2} = a

ou une équation du second degré à coefficients complexes

⚡ Le réflexe

Cherche les racines carrées

z = x + i y

via le système

x^{2} - y^{2} = ℜ (a), 2 x y = ℑ (a), x^{2} + y^{2} = ∣ a ∣

, puis applique

\frac{- b \pm δ}{2 a}

Ex :

z^{2} = 3 + 4 i \Rightarrow z = \pm (2 + i)

car

(2 + i)^{2} = 3 + 4 i

👁️ Tu vois

Interpréter

\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}}

(module et argument)

⚡ Le réflexe

Le module donne le rapport

\frac{A C}{A B}

et l'argument donne l'angle orienté

(A B, A C)

Ex : Si

\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}} = i

alors

A C = A B

et l'angle vaut

\frac{π}{2}

👁️ Tu vois

Linéariser ou utiliser les formules de Moivre / Euler

⚡ Le réflexe

Pose

cos θ = \frac{e ^{i θ} + e ^{- i θ}}{2}

sin θ = \frac{e ^{i θ} - e ^{- i θ}}{2 i}

et développe avec le binôme pour linéariser.

Ex :

cos^{2} θ = \frac{1 + cos 2 θ}{2}

Arithmétique 9

👁️ Tu vois

Résoudre

a x + b y = c

dans

Z

⚡ Le réflexe

Vérifie que

a \land b

divise

c

(Bézout), trouve une solution particulière, puis la solution générale.

Ex :

3 x + 5 y = 1

3 (2) + 5 (- 1) = 1

⇒

(x_{0}, y_{0}) = (2, - 1)

👁️ Tu vois

a ∣ b c

avec

a \land b = 1

⚡ Le réflexe

Théorème de Gauss : alors

a ∣ c

Ex :

7 ∣ 3 k

7 \land 3 = 1

⇒

7 ∣ k

👁️ Tu vois

Calculer le reste de $a^{n}$ modulo $m$

⚡ Le réflexe

Cherche la périodicité des puissances (ou petit théorème de Fermat).

Ex :

2^{n} [7]

2, 4, 1, 2, 4, 1 \dots

période

3

👁️ Tu vois

Montrer que deux entiers sont premiers entre eux

⚡ Le réflexe

Trouve

u, v

tels que

a u + b v = 1

(Bézout).

Ex :

(n + 1) (1) + n (- 1) = 1

⇒

n

n + 1

premiers entre eux

👁️ Tu vois

Utiliser le petit théorème de Fermat

⚡ Le réflexe

p

est premier et

p ∤ a

, alors

a^{p - 1} \equiv 1 [p]

; sinon

a^{p} \equiv a [p]

Ex :

2^{6} \equiv 1 [7]

donc

2^{2026} = 2^{6 \cdot 337 + 4} \equiv 2^{4} \equiv 2 [7]

👁️ Tu vois

Une congruence à résoudre

a x \equiv b [n]

⚡ Le réflexe

Cherche l'inverse de

a

modulo

n

(existe ssi

a \land n = 1

), via Bézout, puis

x \equiv a^{- 1} b [n]

Ex :

3 x \equiv 1 [7]

3^{- 1} \equiv 5

car

3 \cdot 5 = 15 \equiv 1

, donc

x \equiv 5 [7]

👁️ Tu vois

Lien entre PGCD et PPCM

⚡ Le réflexe

Utilise $(a \land b) \times (a \lor b) = ∣ ab ∣$ pour déduire l'un de l'autre.

Ex :

a \land b = 6, ab = 360 \Rightarrow a \lor b = \frac{360}{6} = 60

👁️ Tu vois

Décomposition en facteurs premiers / nombre de diviseurs

⚡ Le réflexe

n = \prod p_{i}^{α_{i}}

, le nombre de diviseurs est

\prod (α_{i} + 1)

Ex :

72 = 2^{3} \cdot 3^{2}

(3 + 1) (2 + 1) = 12

diviseurs.

👁️ Tu vois

Déterminer un PGCD en fonction d'un paramètre

n

⚡ Le réflexe

Applique l'algorithme d'Euclide aux deux expressions pour faire apparaître une combinaison constante encadrant le PGCD.

Ex :

(2 n + 3) \land (n + 1)

2 n + 3 - 2 (n + 1) = 1

, donc le PGCD vaut

1

Dénombrement 9

👁️ Tu vois

Un tirage ordonné, sans remise

⚡ Le réflexe

Arrangements :

A_{n}^{p} = \frac{n !}{( n - p )!}

Ex :

A_{5}^{2} = 5 \times 4 = 20

👁️ Tu vois

Un tirage non ordonné (une poignée, un comité)

⚡ Le réflexe

Combinaisons :

(p n) = \frac{n !}{p ! ( n - p )!}

Ex :

(2 5) = 10

👁️ Tu vois

Un tirage ordonné avec remise (codes, mots)

⚡ Le réflexe

Principe multiplicatif :

p^{n}

(ou

n^{p}

selon l'énoncé).

Ex : Codes de

3

chiffres :

1 0^{3} = 1000

👁️ Tu vois

« au moins » dans un dénombrement

⚡ Le réflexe

Compte le contraire (le « aucun ») et soustrais du total.

Ex : au moins un as

= (5 52) - (5 48)

👁️ Tu vois

Répartir / distribuer en respectant des contraintes (places fixées)

⚡ Le réflexe

Place d'abord les éléments contraints, puis compte librement le reste par le principe multiplicatif.

Ex :

5

personnes en ligne,

2

amis ensemble :

4! \times 2! = 48

façons.

👁️ Tu vois

Une formule à prouver avec des combinaisons (identité)

⚡ Le réflexe

Utilise la formule de Pascal

(p n) = (p - 1 n - 1) + (p n - 1)

ou un raisonnement combinatoire (double comptage).

Ex :

(2 5) = (1 4) + (2 4) = 4 + 6 = 10

👁️ Tu vois

Un dénombrement avec « exactement

k

» d'un certain type

⚡ Le réflexe

Choisis les

k

éléments voulus puis complète avec les autres : $(k a) (n - k b)$ .

Ex : Tirer

3

boules dont exactement

2

rouges parmi

4

R et

5

B :

(2 4) (1 5) = 30

👁️ Tu vois

Le nombre de parties d'un ensemble / sommes de

(k n)

⚡ Le réflexe

Le nombre de parties de

E

n

éléments est $2^{n} = k = 0 \sum n (k n)$ (formule du binôme avec

1 + 1

Ex :

E

4

éléments :

2^{4} = 16

parties.

👁️ Tu vois

Des anagrammes / mots avec lettres répétées

⚡ Le réflexe

Utilise la permutation avec répétitions

\frac{n !}{n _{1} ! n _{2} ! \dots}

où

n_{i}

est le nombre de lettres identiques.

Ex : Anagrammes de « ELLE » :

\frac{4 !}{2 ! 2 !} = 6

Calcul intégral 9

👁️ Tu vois

\int

d'un produit (polynôme

\times

e^{x}

ln

cos

…)

⚡ Le réflexe

Intégration par parties.

Ex :

\int x e^{x} d x = x e^{x} - \int e^{x} d x = (x - 1) e^{x}

👁️ Tu vois

Une intégrale

\int u^{'} (x) g (u (x)) d x

⚡ Le réflexe

Reconnais une primitive composée (

\frac{u ^{'}}{u} \to ln ∣ u ∣

u^{'} e^{u} \to e^{u}

Ex :

\int \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x = ln (x^{2} + 1)

👁️ Tu vois

L'aire entre deux courbes

⚡ Le réflexe

a \int b (f - g)

où

f ⩾ g

sur

[a, b]

Ex :

0 \int 1 (x - x^{2}) d x = \frac{1}{6}

(entre

y = x

y = x^{2}

)

👁️ Tu vois

- a \int a

d'une fonction paire ou impaire

⚡ Le réflexe

Impaire

\Rightarrow 0

; paire

\Rightarrow 2 0 \int a

Ex :

- 1 \int 1 x^{3} d x = 0

(impaire)

👁️ Tu vois

Une intégrale avec

cos^{2} x

sin^{2} x

sin x cos x

⚡ Le réflexe

Linéariser avant d'intégrer :

cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}

sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}

sin x cos x = \frac{sin 2 x}{2}

Ex :

0 \int π sin^{2} x d x = 0 \int π \frac{1 - cos 2 x}{2} d x = \frac{π}{2}

👁️ Tu vois

Une intégrale d'une fonction rationnelle (quotient de polynômes)

⚡ Le réflexe

Décomposer en éléments simples puis intégrer terme à terme (chaque terme donne un

ln

ou une puissance).

Ex :

1 \int 2 \frac{d x}{x ( x + 1 )} = 1 \int 2 (\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}) d x = ln \frac{4}{3}

👁️ Tu vois

Une intégrale

a \int b ∣ f (x) ∣ d x

avec une valeur absolue

⚡ Le réflexe

Étudier le signe de

f

sur

[a, b]

et découper l'intervalle selon ce signe avant d'intégrer.

Ex :

0 \int 2 ∣ x - 1∣ d x = 0 \int 1 (1 - x) d x + 1 \int 2 (x - 1) d x = 1

👁️ Tu vois

Encadrer ou majorer une intégrale sans la calculer

⚡ Le réflexe

Utiliser la croissance/positivité de l'intégrale : si

m \leq f \leq M

sur

[a, b]

alors

m (b - a) \leq a \int b f \leq M (b - a)

Ex : Sur

[0, 1]

\frac{1}{1 + x} \leq 1

donc

0 \int 1 \frac{d x}{1 + x} \leq 1

👁️ Tu vois

Une suite

I_{n} = a \int b f_{n} (x) d x

définie par une intégrale

⚡ Le réflexe

Étudier monotonie et signe via la comparaison des intégrandes, et chercher une relation de récurrence par une IPP.

Ex :

I_{n} = 0 \int 1 x^{n} e^{x} d x

: IPP

\Rightarrow I_{n} = e - n I_{n - 1}

Probabilités 8

👁️ Tu vois

L'événement « au moins un »

⚡ Le réflexe

Passe par l'événement contraire :

P (A) = 1 - P (\overset{ˉ}{A})

Ex :

P (au moins un 6) = 1 - (\frac{5}{6})^{n}

👁️ Tu vois

Des tirages avec remise (succès/échec)

⚡ Le réflexe

Loi binomiale

B (n, p)

Ex :

P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

👁️ Tu vois

Une probabilité « sachant que »

⚡ Le réflexe

Probabilité conditionnelle

P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}

Ex :

P (A \cap B) = 0, 2

P (B) = 0, 5

⇒

P_{B} (A) = 0, 4

👁️ Tu vois

Un système d'événements ou un tirage en deux étapes (« puis »)

⚡ Le réflexe

Appliquer la formule des probabilités totales :

P (B) = i \sum P (A_{i}) P (B ∣ A_{i})

avec

(A_{i})

système complet.

Ex : Deux urnes équiprobables :

P (rouge) = \frac{1}{2} P (R ∣ U_{1}) + \frac{1}{2} P (R ∣ U_{2})

👁️ Tu vois

On demande l'espérance

E (X)

ou la variance

V (X)

d'une variable

⚡ Le réflexe

X

suit une loi binomiale

B (n, p)

alors

E (X) = n p

V (X) = n p (1 - p)

Ex :

X \sim B (10, 0, 3)

E (X) = 3

V (X) = 2, 1

👁️ Tu vois

Le mot « indépendants » ou des tirages successifs avec remise

⚡ Le réflexe

Pour des événements indépendants :

P (A \cap B) = P (A) \times P (B)

(et le produit pour une suite d'épreuves).

Ex : Deux dés :

P (deux 6) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}

👁️ Tu vois

Un tirage où tous les cas sont également probables

⚡ Le réflexe

Hypothèse d'équiprobabilité :

P (A) = \frac{card ( A )}{card ( Ω )}

, on compte par dénombrement.

Ex : Tirer 2 cartes parmi 32 :

card (Ω) = (2 32) = 496

👁️ Tu vois

On donne

P (B ∣ A)

et on cherche

P (A ∣ B)

(cause/diagnostic)

⚡ Le réflexe

Appliquer la formule de Bayes :

P (A ∣ B) = \frac{P ( A ) P ( B ∣ A )}{P ( B )}

Ex : Test :

P (M ∣ +) = \frac{P ( M ) P ( + ∣ M )}{P ( + )}

Structures algébriques 9

👁️ Tu vois

Montrer que

(G, *)

est un groupe

⚡ Le réflexe

Vérifie : loi interne, associativité, élément neutre, symétrique de chaque élément.

Ex :

(Z, +)

: neutre

0

, symétrique de

a

est

- a

👁️ Tu vois

Montrer que

(H, *)

est un sous-groupe

⚡ Le réflexe

Montre

H \neq = \emptyset

(le neutre y est) et la stabilité :

\forall x, y \in H, x * y^{- 1} \in H

Ex :

2 Z

est un sous-groupe de

(Z, +)

👁️ Tu vois

Montrer que

f

est un morphisme

⚡ Le réflexe

Vérifie

f (x * y) = f (x) ⋆ f (y)

pour tous

x, y

Ex :

ln : (R_{+}^{*}, \times) \to (R, +)

ln (x y) = ln x + ln y

👁️ Tu vois

Montrer que

(A, +, \times)

est un corps

⚡ Le réflexe

Anneau commutatif où tout élément non nul est inversible.

Ex :

(Q, +, \times)

est un corps ;

(Z, +, \times)

non

👁️ Tu vois

Montrer que

(A, +, \times)

est un anneau

⚡ Le réflexe

Vérifier :

(A, +)

groupe abélien,

\times

associative et distributive sur

+

(anneau unitaire : élément neutre

1

Ex :

(Z, +, \times)

est un anneau commutatif unitaire d'unité

1

👁️ Tu vois

Montrer qu'une loi

*

est commutative (groupe abélien)

⚡ Le réflexe

Prouver

x * y = y * x

pour tous

x, y

en revenant à la définition de $*$ et en exploitant la commutativité des opérations usuelles.

Ex :

x * y = x + y - 3

x * y = y + x - 3 = y * x

, donc

*

commutative

👁️ Tu vois

Trouver l'élément neutre

e

et le symétrique de

x

⚡ Le réflexe

Résoudre

x * e = x

pour obtenir

e

, puis

x * x^{'} = e

pour obtenir

x^{'}

en fonction de

x

Ex :

x * y = x + y - 3

e = 3

; symétrique de

x

x^{'} = 6 - x

👁️ Tu vois

Montrer que

f : (G, *) \to (G^{'}, ⋆)

est un isomorphisme

⚡ Le réflexe

Montrer que

f

est un morphisme (

f (x * y) = f (x) ⋆ f (y)

) et bijectif.

Ex :

ln : (R_{+}^{*}, \times) \to (R, +)

est un isomorphisme

👁️ Tu vois

Étudier l'injectivité d'un morphisme de groupes

⚡ Le réflexe

Un morphisme est injectif

⟺

son noyau est réduit au neutre :

ker f = {e}

Ex :

f (x) = e^{x}

(R, +)

ker f = {0}

donc

f

injectif

Géométrie dans l'espace 9

👁️ Tu vois

Une orthogonalité (droites, ou droite/plan)

⚡ Le réflexe

Calcule le produit scalaire : il est nul

⟺

orthogonaux.

Ex :

u \cdot v = 0 ⟺ u ⊥ v

👁️ Tu vois

Trouver l'équation d'un plan

⚡ Le réflexe

Un vecteur normal

n = (a, b, c)

donne

a x + b y + cz + d = 0

; trouve

d

avec un point.

Ex :

n = (1, 2, - 1)

, passe par

A (0, 0, 0)

x + 2 y - z = 0

👁️ Tu vois

La distance d'un point à un plan

(P) : a x + b y + cz + d = 0

⚡ Le réflexe

d (M, P) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}

Ex :

M (1, 0, 0)

(P) : x = 0

d = \frac{∣1∣}{1} = 1

👁️ Tu vois

Un vecteur normal à un plan / une aire

⚡ Le réflexe

Utilise le produit vectoriel

u \land v

Ex : aire du triangle

= \frac{1}{2} ∥ A B \land A C ∥

👁️ Tu vois

Une droite définie par un point

A

et un vecteur directeur

u

⚡ Le réflexe

Écrire la représentation paramétrique :

M (x, y, z)

avec

A M = t u

t \in R

Ex :

A (1, 0, 2)

u (1, - 1, 0)

⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = - t z = 2

👁️ Tu vois

On demande l'équation d'une sphère de centre

Ω

et rayon

R

⚡ Le réflexe

Écrire

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}

; réciproquement, identifier

Ω

R

par mise sous forme canonique.

Ex :

Ω (1, 0, - 2)

R = 3

(x - 1)^{2} + y^{2} + (z + 2)^{2} = 9

👁️ Tu vois

Intersection d'un plan

(P)

et d'une sphère

(S)

⚡ Le réflexe

Comparer

d = d (Ω, (P))

R

: si

d < R

cercle de rayon

r = R^{2} - d^{2}

;

d = R

point (tangent) ;

d > R

vide.

Ex :

d = 2

R = 3

: cercle de rayon

r = 9 - 4 = 5

👁️ Tu vois

Intersection d'une droite paramétrée et d'un plan

⚡ Le réflexe

Substituer les coordonnées paramétriques de la droite dans l'équation du plan et résoudre en

t

Ex : Droite

(t, t, t)

dans

x + y + z = 3

3 t = 3 \Rightarrow t = 1

, point

(1, 1, 1)

👁️ Tu vois

Calculer le volume d'un tétraèdre

A B C D

⚡ Le réflexe

Utiliser

V = \frac{1}{6} det (A B, A C, A D) = \frac{1}{6} (A B \land A C) \cdot A D

Ex :

V = \frac{1}{6} ∣ det ∣

; pour le cube unité

V = \frac{1}{6}

Limites & continuité 6

👁️ Tu vois

Forme indéterminée

\frac{0}{0}

avec un polynôme

⚡ Le réflexe

Factoriser numérateur et dénominateur par

(x - a)

puis simplifier.

Ex :

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = x \to 2 lim (x + 2) = 4

👁️ Tu vois

Limite en

\pm \infty

d'une fonction rationnelle

⚡ Le réflexe

Garder les termes de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.

Ex :

x \to + \infty lim \frac{3 x ^{2} + 1}{x ^{2} - x} = x \to + \infty lim \frac{3 x ^{2}}{x ^{2}} = 3

👁️ Tu vois

Quotient

\frac{k}{0}

avec

k \neq = 0

⚡ Le réflexe

Étudier le signe du dénominateur à gauche et à droite : limite

\pm \infty

(asymptote verticale).

Ex :

x \to 1^{+} lim \frac{1}{x - 1} = + \infty

👁️ Tu vois

Présence de

donnant

\infty - \infty

\frac{0}{0}

⚡ Le réflexe

Multiplier par la quantité conjuguée pour lever l'indétermination.

Ex :

x \to 0 lim \frac{x + 1 - 1}{x} = x \to 0 lim \frac{1}{x + 1 + 1} = \frac{1}{2}

👁️ Tu vois

On demande de montrer qu'une fonction est continue en

a

⚡ Le réflexe

Vérifier

x \to a lim f (x) = f (a)

(limite finie égale à l'image).

Ex :

f (x) = x^{2}

x \to 3 lim f (x) = 9 = f (3)

donc continue en

3

👁️ Tu vois

f

continue sur

[a, b]

f (a) \cdot f (b) < 0

⚡ Le réflexe

TVI : l'équation

f (x) = 0

admet au moins une solution dans

] a, b [

Ex :

f (x) = x^{3} - 2

f (1) = - 1 < 0

f (2) = 6 > 0

donc une racine dans

] 1, 2 [

Dérivation & étude de fonctions 6

👁️ Tu vois

On demande le sens de variation de

f

⚡ Le réflexe

Calculer $f^{'} (x)$ , étudier son signe :

f^{'} > 0 \Rightarrow

croissante,

f^{'} < 0 \Rightarrow

décroissante.

Ex :

f (x) = x^{2} - 4 x

f^{'} (x) = 2 x - 4 > 0 ⟺ x > 2

donc croissante sur

[2, + \infty [

👁️ Tu vois

Dérivée d'un quotient

\frac{u}{v}

⚡ Le réflexe

Appliquer

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

Ex :

(\frac{x}{x + 1})^{'} = \frac{( x + 1 ) - x}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}

👁️ Tu vois

Une fonction composée

u

u^{n}

, etc.

⚡ Le réflexe

Dériver de l'extérieur vers l'intérieur :

(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}

(u^{n})^{'} = n u^{'} u^{n - 1}

Ex :

(x^{2} + 1)^{'} = \frac{2 x}{2 x ^{2} + 1} = \frac{x}{x ^{2} + 1}

👁️ Tu vois

Équation de la tangente en

x = a

⚡ Le réflexe

Utiliser

y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)

Ex :

f (x) = x^{2}

a = 1

y = 2 (x - 1) + 1 = 2 x - 1

👁️ Tu vois

f^{'} (x)

s'annule en changeant de signe

⚡ Le réflexe

Extremum local en ce point (maximum si

+ \to -

, minimum si

- \to +

Ex :

f (x) = x^{2} - 4 x

f^{'}

passe de

-

+

2

: minimum

f (2) = - 4

👁️ Tu vois

x \to \pm \infty lim [f (x) - (a x + b)] = 0

⚡ Le réflexe

Asymptote oblique d'équation

y = a x + b

Ex :

f (x) = x + \frac{1}{x}

f (x) - x = \frac{1}{x} \to 0

donc

y = x

asymptote

Fonctions logarithmiques 6

👁️ Tu vois

Présence de

ln

: domaine de définition

⚡ Le réflexe

Imposer l'argument $> 0$ :

ln (u)

existe ssi

u > 0

Ex :

ln (x - 3)

défini pour

x - 3 > 0

, soit

x > 3

👁️ Tu vois

ln

d'un produit, quotient ou puissance

⚡ Le réflexe

Propriétés algébriques :

ln (ab) = ln a + ln b

ln \frac{a}{b} = ln a - ln b

ln (a^{n}) = n ln a

Ex :

ln (2 e^{3}) = ln 2 + 3

👁️ Tu vois

Équation du type

ln (u) = k

⚡ Le réflexe

Passer à l'exponentielle :

u = e^{k}

(vérifier

u > 0

Ex :

ln x = 2 ⟺ x = e^{2}

👁️ Tu vois

Dériver une fonction contenant

ln

⚡ Le réflexe

Formule

(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}

(en particulier

(ln x)^{'} = \frac{1}{x}

Ex :

(ln (x^{2} + 1))^{'} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}

👁️ Tu vois

Limite avec

ln

0^{+}

ou en

+ \infty

⚡ Le réflexe

Limites de référence :

x \to 0^{+} lim ln x = - \infty

x \to + \infty lim ln x = + \infty

x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0

Ex :

x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0

(croissances comparées)

👁️ Tu vois

Inéquation

ln a < ln b

⚡ Le réflexe

$ln$ est strictement croissante :

ln a < ln b ⟺ 0 < a < b

Ex :

ln x < ln 5 ⟺ 0 < x < 5

Fonctions exponentielles 6

👁️ Tu vois

Équation du type

e^{u} = k

avec

k > 0

⚡ Le réflexe

Passer au logarithme :

e^{u} = k ⟺ u = ln k

Ex :

e^{x} = 3 ⟺ x = ln 3

👁️ Tu vois

e^{a} \cdot e^{b}

\frac{e ^{a}}{e ^{b}}

(e^{a})^{n}

⚡ Le réflexe

Règles de calcul :

e^{a} e^{b} = e^{a + b}

\frac{e ^{a}}{e ^{b}} = e^{a - b}

(e^{a})^{n} = e^{na}

Ex :

\frac{e ^{5}}{e ^{2}} = e^{3}

👁️ Tu vois

Dériver une fonction contenant

e^{u}

⚡ Le réflexe

Formule

(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}

(en particulier

(e^{x})^{'} = e^{x}

Ex :

(e^{x^{2}})^{'} = 2 x e^{x^{2}}

👁️ Tu vois

Limite avec

e^{x}

\pm \infty

⚡ Le réflexe

Limites de référence :

x \to + \infty lim e^{x} = + \infty

x \to - \infty lim e^{x} = 0

x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x} = + \infty

Ex :

x \to - \infty lim e^{x} = 0

👁️ Tu vois

Forme indéterminée

\frac{0}{0}

avec

x \to 0 lim

⚡ Le réflexe

Limite de référence :

x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1

Ex :

x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1

👁️ Tu vois

Inéquation

e^{a} < e^{b}

⚡ Le réflexe

$exp$ est strictement croissante :

e^{a} < e^{b} ⟺ a < b

Ex :

e^{x} < e^{2} ⟺ x < 2

Suites numériques 6

👁️ Tu vois

u_{n + 1} = u_{n} + r

(différence constante)

⚡ Le réflexe

Suite arithmétique : terme général

u_{n} = u_{0} + n r

et somme

\sum = \frac{( n + 1 ) ( u _{0} + u _{n} )}{2}

Ex :

u_{0} = 2, r = 3 \Rightarrow u_{5} = 2 + 5 \times 3 = 17

👁️ Tu vois

u_{n + 1} = q u_{n}

(rapport constant)

⚡ Le réflexe

Suite géométrique :

u_{n} = u_{0} q^{n}

et somme

u_{0} \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}

Ex :

u_{0} = 1, q = 2 \Rightarrow u_{4} = 2^{4} = 16

👁️ Tu vois

« montrer que

(v_{n})

est géométrique » avec

v_{n} = u_{n} - a

⚡ Le réflexe

Suite auxiliaire : calculer

\frac{v _{n + 1}}{v _{n}}

pour trouver

q

, puis revenir à

u_{n} = v_{n} + a

Ex :

u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 1, v_{n} = u_{n} - 2 \Rightarrow v_{n + 1} = \frac{1}{2} v_{n}

👁️ Tu vois

calculer

lim u_{n}

avec

u_{n} = u_{0} q^{n}

⚡ Le réflexe

Limite géométrique : si

∣ q ∣ < 1

alors

lim q^{n} = 0

; si

q > 1

alors

lim q^{n} = + \infty

Ex :

u_{n} = 3 \times (0, 5)^{n} \Rightarrow lim u_{n} = 0

👁️ Tu vois

« étudier la monotonie » de

(u_{n})

⚡ Le réflexe

Sens de variation : étudier le signe de

u_{n + 1} - u_{n}

; croissante si

\geq 0

, décroissante si

\leq 0

Ex :

u_{n + 1} - u_{n} = 2 n + 1 > 0 \Rightarrow

croissante

👁️ Tu vois

suite définie par

u_{n + 1} = f (u_{n})

f

continue,

u_{n}

converge

⚡ Le réflexe

Limite point fixe : la limite

ℓ

vérifie

ℓ = f (ℓ)

; résoudre cette équation.

Ex :

f (x) = x + 2 \Rightarrow ℓ = ℓ + 2 \Rightarrow ℓ = 2

Calcul intégral 6

👁️ Tu vois

a \int b f (x) d x

à calculer

⚡ Le réflexe

Primitive : trouver

F

avec

F^{'} = f

, puis

a \int b f = F (b) - F (a)

Ex :

0 \int 1 x^{2} d x = [\frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{3}

👁️ Tu vois

\int \frac{u ^{'}}{u} d x

(numérateur = dérivée du dénominateur)

⚡ Le réflexe

Forme $ln$ : une primitive est

ln ∣ u ∣

Ex :

1 \int e \frac{1}{x} d x = [ln x]_{1}^{e} = 1

👁️ Tu vois

\int u^{'} e^{u} d x

⚡ Le réflexe

Forme exponentielle : une primitive est

e^{u}

Ex :

0 \int 1 2 x e^{x^{2}} d x = [e^{x^{2}}]_{0}^{1} = e - 1

👁️ Tu vois

\int x e^{x} d x

\int x ln x d x

(produit)

⚡ Le réflexe

Intégration par parties :

\int u v^{'} = [uv] - \int u^{'} v

Ex :

0 \int 1 x e^{x} d x = [x e^{x}]_{0}^{1} - 0 \int 1 e^{x} d x = 1

👁️ Tu vois

« aire du domaine entre

C_{f}

et l'axe des abscisses »

⚡ Le réflexe

Aire : si

f \geq 0

sur

[a, b]

, aire

= a \int b f (x) d x

(en unités d'aire).

Ex : aire sous

f (x) = x

sur

[0, 2] = 0 \int 2 x d x = 2

👁️ Tu vois

« aire entre deux courbes »

C_{f}

C_{g}

⚡ Le réflexe

Aire entre courbes :

a \int b ∣ f (x) - g (x) ∣ d x

(placer la plus grande au-dessus).

Ex : entre

x

x^{2}

sur

[0, 1] : 0 \int 1 (x - x^{2}) d x = \frac{1}{6}

Nombres complexes 6

👁️ Tu vois

calculer le module et un argument de

z = a + ib

⚡ Le réflexe

Forme trigonométrique :

∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}

cos θ = \frac{a}{∣ z ∣}

sin θ = \frac{b}{∣ z ∣}

Ex :

z = 1 + i \Rightarrow ∣ z ∣ = 2, θ = \frac{π}{4}

👁️ Tu vois

résoudre

a z^{2} + b z + c = 0

avec

Δ < 0

⚡ Le réflexe

Équation du 2nd degré : racines

z = \frac{- b \pm i ∣Δ∣}{2 a}

(conjuguées).

Ex :

z^{2} + 1 = 0 \Rightarrow z = \pm i

👁️ Tu vois

multiplier/diviser deux complexes ou élever à une puissance

⚡ Le réflexe

Notation $e^{i θ}$ : modules se multiplient, arguments s'additionnent ;

(r e^{i θ})^{n} = r^{n} e^{in θ}

Ex :

(1 + i)^{2} = 2 e^{iπ /2} = 2 i

👁️ Tu vois

« nature du triangle

A B C

» avec affixes

⚡ Le réflexe

Quotient d'affixes : calculer

\frac{c - a}{b - a}

; module

\to

longueurs, argument

\to

angle.

Ex :

\frac{c - a}{b - a} = i \Rightarrow

rectangle isocèle en

A

👁️ Tu vois

« ensemble des points

M (z)

tel que

∣ z - z_{A} ∣ = r

⚡ Le réflexe

Lieu géométrique :

∣ z - z_{A} ∣ = r

est le cercle de centre

A

et rayon

r

Ex :

∣ z - 2∣ = 3 \Rightarrow

cercle de centre

(2, 0)

, rayon

3

👁️ Tu vois

\overset{z}{ˉ}

, conjugué d'un quotient

⚡ Le réflexe

Conjugué : multiplier haut et bas par le conjugué du dénominateur pour obtenir

a + ib

Ex :

\frac{1}{i} = \frac{- i}{i \cdot ( - i )} = - i

Géométrie dans l'espace 5

👁️ Tu vois

équation

a x + b y + cz + d = 0

d'un plan

⚡ Le réflexe

Vecteur normal : le vecteur

n (a, b, c)

est normal au plan.

Ex :

2 x - y + 3 z - 1 = 0 \Rightarrow n (2, - 1, 3)

👁️ Tu vois

produit scalaire de

u (x, y, z)

v (x^{'}, y^{'}, z^{'})

⚡ Le réflexe

Produit scalaire :

u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}

; nul

\Leftrightarrow

orthogonaux.

Ex :

(1, 0, 2) \cdot (2, 3, - 1) = 2 + 0 - 2 = 0

👁️ Tu vois

« distance du point

A

au plan

P

⚡ Le réflexe

Distance point-plan :

d = \frac{∣ a x _{A} + b y _{A} + c z _{A} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}

Ex :

A (0, 0, 0), x + y + z - 3 = 0 \Rightarrow d = \frac{3}{3} = 3

👁️ Tu vois

« équation de la sphère de centre

Ω

et rayon

R

⚡ Le réflexe

Sphère :

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}

Ex : centre

(1, 0, 0), R = 2 : (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 4

👁️ Tu vois

représentation paramétrique d'une droite passant par

A

, dirigée par

u

⚡ Le réflexe

Droite :

M = A + t u

, soit

⎩ ⎨ ⎧ x = x_{A} + t a y = y_{A} + t b z = z_{A} + t c

Ex :

A (1, 2, 0), u (1, 0, 1) : (1 + t, 2, t)

Probabilités 6

👁️ Tu vois

« tirage avec remise », succès/échec répété

n

fois

⚡ Le réflexe

Loi binomiale

B (n, p)

P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

Ex :

n = 3, p = \frac{1}{2} : P (X = 2) = (2 3) (\frac{1}{2})^{3} = \frac{3}{8}

👁️ Tu vois

« espérance / nombre moyen de succès » d'une binomiale

⚡ Le réflexe

Espérance binomiale :

E (X) = n p

(et

V (X) = n p (1 - p)

Ex :

n = 10, p = 0, 2 \Rightarrow E (X) = 10 \times 0, 2 = 2

👁️ Tu vois

P (A \cap B)

avec « sachant que » dans l'énoncé

⚡ Le réflexe

Probabilité conditionnelle :

P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}

, donc

P (A \cap B) = P (B) P_{B} (A)

Ex :

P (B) = 0, 5, P_{B} (A) = 0, 4 \Rightarrow P (A \cap B) = 0, 2

👁️ Tu vois

« A et B sont indépendants »

⚡ Le réflexe

Indépendance :

P (A \cap B) = P (A) \times P (B)

Ex :

P (A) = 0, 3, P (B) = 0, 5 \Rightarrow P (A \cap B) = 0, 15

👁️ Tu vois

arbre pondéré ou partition en cas

B_{1}, B_{2}, \dots

⚡ Le réflexe

Probabilités totales :

P (A) = i \sum P (B_{i}) P_{B_{i}} (A)

(somme des branches).

Ex :

0, 6 \times 0, 5 + 0, 4 \times 0, 1 = 0, 34

👁️ Tu vois

loi de probabilité donnée par un tableau de valeurs

x_{i}

⚡ Le réflexe

Espérance (cas général) :

E (X) = \sum x_{i} p_{i}

(vérifier

\sum p_{i} = 1

Ex :

x : 0, 1

avec

p : 0, 4, 0, 6 \Rightarrow E (X) = 0, 6

Généralités sur les fonctions 6

👁️ Tu vois

« Étudier la parité de

f

⚡ Le réflexe

Vérifier d'abord que

D_{f}

est symétrique par rapport à

0

, puis comparer

f (- x)

f (x)

: paire si

f (- x) = f (x)

, impaire si

f (- x) = - f (x)

Ex :

f (x) = x^{2} - 3

f (- x) = (- x)^{2} - 3 = x^{2} - 3 = f (x)

, donc

f

paire.

👁️ Tu vois

« Comparer

f (a)

f (b)

» ou « sens de variation »

⚡ Le réflexe

Étudier le signe de $f (b) - f (a)$ (ou du taux

\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}

) sur l'intervalle.

Ex :

f (x) = 2 x + 1

f (b) - f (a) = 2 (b - a)

, si

a < b

alors

f (a) < f (b)

f

croissante.

👁️ Tu vois

« Déterminer l'ensemble de définition

D_{f}

⚡ Le réflexe

Interdire dénominateur nul et radicande négatif : poser les conditions

d \overset{e}{ˊ} nom \neq = 0

sous-racine \geq 0

Ex :

f (x) = x - 2

x - 2 \geq 0

, donc

D_{f} = [2; + \infty [

👁️ Tu vois

f

majorée / minorée / bornée »

⚡ Le réflexe

Encadrer $f (x)$ :

m \leq f (x)

(minorée par

m

f (x) \leq M

(majorée par

M

), les deux

\Rightarrow

bornée.

Ex :

f (x) = x^{2} + 1

x^{2} \geq 0

donc

f (x) \geq 1

f

minorée par

1

👁️ Tu vois

« courbe

C_{g}

déduite de

C_{f}

⚡ Le réflexe

Reconnaître la translation :

g (x) = f (x) + k

décale verticalement,

g (x) = f (x - a)

décale horizontalement.

Ex :

g (x) = f (x) + 3

C_{g}

est

C_{f}

translatée de

u = 3 j

vers le haut.

👁️ Tu vois

« composée

g \circ f

⚡ Le réflexe

Appliquer $f$ puis $g$ :

(g \circ f) (x) = g (f (x))

, en respectant

f (x) \in D_{g}

Ex :

f (x) = x + 1

g (x) = x^{2}

(g \circ f) (x) = (x + 1)^{2}

Barycentre dans le plan 6

👁️ Tu vois

« barycentre de

(A, α)

(B, β)

⚡ Le réflexe

Vérifier $α + β \neq = 0$ , puis

G

défini par

α G A + β GB = 0

Ex :

G

bar. de

(A, 1), (B, 1)

G A + GB = 0

G

est le milieu de

[A B]

👁️ Tu vois

« position / coordonnées de

G

⚡ Le réflexe

Utiliser la formule

A G = \frac{β}{α + β} A B

, ou

x_{G} = \frac{α x _{A} + β x _{B}}{α + β}

Ex :

(A, 2), (B, 1)

A (0; 0), B (3; 0)

x_{G} = \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot 3}{3} = 1

👁️ Tu vois

« réduire

α M A + β M B

⚡ Le réflexe

Faire apparaître $G$ :

α M A + β M B = (α + β) M G

pour tout point

M

Ex :

G

bar. de

(A, 1), (B, 1)

M A + M B = 2 M G

👁️ Tu vois

« barycentre de trois points »

⚡ Le réflexe

Associativité : grouper deux points en leur barycentre partiel, puis recommencer (somme des coeff.

\neq = 0

Ex :

G

bar. de

(A, 1), (B, 1), (C, 1)

: centre de gravité du triangle

A B C

👁️ Tu vois

« isobarycentre »

⚡ Le réflexe

Tous les coefficients égaux :

G

isobarycentre de

A, B, C

a pour coordonnées la moyenne.

Ex :

A (0; 0), B (3; 0), C (0; 3)

G (\frac{0 + 3 + 0}{3}; \frac{0 + 0 + 3}{3}) = (1; 1)

👁️ Tu vois

« ensemble des points

M

tels que ... vecteur constant »

⚡ Le réflexe

Réduire avec le barycentre pour obtenir

∥ M G ∥ = cte

(cercle) ou direction fixe (droite).

Ex :

∥ M A + M B ∥ = 4

avec

G

milieu :

2∥ M G ∥ = 4

, cercle de centre

G

, rayon

2

Produit scalaire dans le plan 6

👁️ Tu vois

u \cdot v

avec coordonnées »

⚡ Le réflexe

Formule analytique : si

u (x; y)

v (x^{'}; y^{'})

alors

u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}

Ex :

u (2; 3), v (1; - 1)

u \cdot v = 2 \cdot 1 + 3 \cdot (- 1) = - 1

👁️ Tu vois

u \cdot v

avec un angle »

⚡ Le réflexe

Formule avec cosinus :

u \cdot v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos (u, v)

Ex :

∥ u ∥ = 2, ∥ v ∥ = 3

, angle

6 0^{\circ}

u \cdot v = 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 3

👁️ Tu vois

« montrer que deux droites/vecteurs sont perpendiculaires »

⚡ Le réflexe

Tester $u \cdot v = 0$ : produit scalaire nul

\Leftrightarrow

orthogonalité.

Ex :

u (2; 1), v (- 1; 2)

2 \cdot (- 1) + 1 \cdot 2 = 0

, donc

u ⊥ v

👁️ Tu vois

« calculer une longueur / norme »

⚡ Le réflexe

Norme :

∥ u ∥ = u \cdot u = x^{2} + y^{2}

Ex :

u (3; 4)

∥ u ∥ = 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5

👁️ Tu vois

« équation d'un cercle de diamètre

[A B]

⚡ Le réflexe

Utiliser $M A \cdot M B = 0$ :

M

sur le cercle de diamètre

[A B]

Ex :

A (0; 0), B (2; 0)

M A \cdot M B = x (x - 2) + y^{2} = 0

, soit

x^{2} - 2 x + y^{2} = 0

👁️ Tu vois

« calculer un angle d'un triangle »

⚡ Le réflexe

Isoler $cos$ :

cos (A) = \frac{A B \cdot A C}{∥ A B ∥ ∥ A C ∥}

Ex :

A B (1; 0), A C (0; 1)

cos A = \frac{0}{1 \cdot 1} = 0

, donc

A = 9 0^{\circ}

Calcul trigonométrique 6

👁️ Tu vois

« simplifier une expression avec

cos^{2} + sin^{2}

⚡ Le réflexe

Identité fondamentale :

cos^{2} x + sin^{2} x = 1

Ex :

sin^{2} x + cos^{2} x + 3 = 1 + 3 = 4

👁️ Tu vois

« angle associé :

- x

π - x

\frac{π}{2} - x

⚡ Le réflexe

Appliquer les formules des angles associés :

cos (- x) = cos x

sin (π - x) = sin x

cos (\frac{π}{2} - x) = sin x

Ex :

sin (π - x) = sin x

, donc

sin \frac{5 π}{6} = sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

👁️ Tu vois

cos (a + b)

sin (a + b)

⚡ Le réflexe

Formules d'addition :

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b

Ex :

cos \frac{π}{2} = cos (\frac{π}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = 0

👁️ Tu vois

cos 2 x

sin 2 x

⚡ Le réflexe

Formules de duplication :

sin 2 x = 2 sin x cos x

cos 2 x = 2 cos^{2} x - 1

Ex :

x = \frac{π}{6}

sin \frac{π}{3} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}

👁️ Tu vois

« résoudre

cos x = a

⚡ Le réflexe

Solutions :

cos x = cos α \Leftrightarrow x = α + 2 k π

x = - α + 2 k π

k \in Z

Ex :

cos x = \frac{1}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 k π

x = - \frac{π}{3} + 2 k π

👁️ Tu vois

« résoudre

sin x = a

⚡ Le réflexe

Solutions :

sin x = sin α \Leftrightarrow x = α + 2 k π

x = π - α + 2 k π

k \in Z

Ex :

sin x = \frac{1}{2}

x = \frac{π}{6} + 2 k π

x = \frac{5 π}{6} + 2 k π

Rotation dans le plan 6

👁️ Tu vois

« rotation de centre

O

et d'angle

θ

⚡ Le réflexe

Définition :

M^{'} = r (M)

vérifie

O M^{'} = O M

(O M, O M^{'}) = θ

(avec

O^{'} = O

Ex : Rotation de centre

O

, angle

\frac{π}{2}

A (1; 0) \mapsto A^{'} (0; 1)

👁️ Tu vois

« image conserve les distances »

⚡ Le réflexe

La rotation est une isométrie : si

A^{'} = r (A), B^{'} = r (B)

alors

A^{'} B^{'} = A B

Ex :

A B = 5

r

une rotation :

A^{'} B^{'} = 5

👁️ Tu vois

« rotation d'angle

π

⚡ Le réflexe

Cas particulier : la rotation d'angle

π

et de centre

O

est la symétrie centrale de centre

O

Ex : Centre

O (0; 0)

, angle

π

A (2; 3) \mapsto A^{'} (- 2; - 3)

👁️ Tu vois

« image d'une droite / d'un cercle »

⚡ Le réflexe

Conservation des figures : l'image d'une droite est une droite, celle d'un cercle un cercle de même rayon.

Ex : Cercle de centre

I

, rayon

2

: image = cercle de centre

r (I)

, rayon

2

👁️ Tu vois

« angle géométrique conservé »

⚡ Le réflexe

La rotation conserve les angles (mesures et orientation) : l'image d'un triangle est un triangle de même forme.

Ex :

A B C = 4 0^{\circ}

: son image

A^{'} B^{'} C^{'} = 4 0^{\circ}

👁️ Tu vois

« point invariant d'une rotation »

⚡ Le réflexe

Seul le centre est invariant (si

θ \neq = 0

) :

r (O) = O

et c'est le seul point fixe.

Ex : Rotation de centre

O

, angle

\frac{π}{3}

r (O) = O

, aucun autre point fixe.

Suites numériques 6

👁️ Tu vois

u_{n + 1} = u_{n} + r

ou différence constante

⚡ Le réflexe

Suite arithmétique : terme général

u_{n} = u_{0} + n r

et somme

S = \frac{( n + 1 ) ( u _{0} + u _{n} )}{2}

Ex :

u_{0} = 2, r = 3 \Rightarrow u_{4} = 2 + 4 \times 3 = 14

👁️ Tu vois

u_{n + 1} = q u_{n}

ou rapport constant

⚡ Le réflexe

Suite géométrique :

u_{n} = u_{0} q^{n}

S = u_{0} \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}

q \neq = 1

Ex :

u_{0} = 3, q = 2 \Rightarrow u_{3} = 3 \times 2^{3} = 24

👁️ Tu vois

« montrer que

(u_{n})

est croissante »

⚡ Le réflexe

Étudier le signe de

u_{n + 1} - u_{n}

: si

\geq 0

croissante, si

\leq 0

décroissante.

Ex :

u_{n} = n^{2} : u_{n + 1} - u_{n} = 2 n + 1 > 0

donc croissante

👁️ Tu vois

(u_{n})

est-elle majorée / minorée ? »

⚡ Le réflexe

Chercher $M$ tel que

u_{n} \leq M

(majorée) ou

m \leq u_{n}

(minorée) pour tout

n

Ex :

u_{n} = \frac{n}{n + 1} < 1

donc

(u_{n})

est majorée par

1

👁️ Tu vois

propriété « vraie pour tout

n \in N

⚡ Le réflexe

Raisonnement par récurrence : initialisation au rang

0

puis hérédité

P (n) \Rightarrow P (n + 1)

Ex :

1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}

se prouve par récurrence

👁️ Tu vois

u_{n + 1} = a u_{n} + b

(récurrence affine)

⚡ Le réflexe

Calculer les premiers termes puis conjecturer ; introduire

v_{n} = u_{n} - ℓ

avec

ℓ = \frac{b}{1 - a}

(point fixe).

Ex :

u_{n + 1} = 2 u_{n} + 1, ℓ = - 1, v_{n} = u_{n} + 1

géométrique

Limites d'une fonction 6

👁️ Tu vois

\frac{0}{0}

avec polynômes en

x \to a

⚡ Le réflexe

Factoriser par

(x - a)

au numérateur et dénominateur puis simplifier.

Ex :

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = lim (x + 2) = 4

👁️ Tu vois

\frac{\infty}{\infty}

avec polynômes en

x \to \pm \infty

⚡ Le réflexe

Mettre en facteur le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.

Ex :

x \to + \infty lim \frac{3 x ^{2} + 1}{x ^{2} - 5} = \frac{3}{1} = 3

👁️ Tu vois

limite à droite/gauche d'un point interdit,

\frac{k}{0}

⚡ Le réflexe

Étudier le signe du dénominateur de part et d'autre : la limite vaut

\pm \infty

Ex :

x \to 0^{+} lim \frac{1}{x} = + \infty, x \to 0^{-} lim \frac{1}{x} = - \infty

👁️ Tu vois

donnant

\infty - \infty

⚡ Le réflexe

Multiplier par l'expression conjuguée pour lever l'indétermination.

Ex :

x + 1 - x = \frac{1}{x + 1 + x} \to 0

👁️ Tu vois

limite encadrée :

g (x) \leq f (x) \leq h (x)

⚡ Le réflexe

Théorème des gendarmes : si

g

h

ont la même limite

ℓ

, alors

f \to ℓ

Ex :

- 1 \leq sin x \leq 1 \Rightarrow x \to + \infty lim \frac{sin x}{x} = 0

👁️ Tu vois

lim f (x) = \pm \infty

lim f (x) = ℓ

\infty

⚡ Le réflexe

Interpréter par une asymptote : verticale (

x = a

) ou horizontale (

y = ℓ

Ex :

x \to + \infty lim \frac{1}{x} = 0

: asymptote

y = 0

Dérivation & étude de fonctions 6

👁️ Tu vois

« nombre dérivé en

a

» ou taux d'accroissement

⚡ Le réflexe

Définition :

f^{'} (a) = x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}

, coefficient directeur de la tangente.

Ex :

f (x) = x^{2} : f^{'} (3) = lim \frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = 6

👁️ Tu vois

« équation de la tangente en

a

⚡ Le réflexe

Formule :

y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)

Ex :

f (x) = x^{2}, a = 1 : y = 2 (x - 1) + 1 = 2 x - 1

👁️ Tu vois

dérivée d'un produit, quotient ou composée

⚡ Le réflexe

Appliquer les formules :

(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

Ex :

f (x) = x x : f^{'} (x) = \frac{3}{2} x

👁️ Tu vois

« sens de variation » ou « tableau de variations »

⚡ Le réflexe

Étudier le signe de $f^{'} (x)$ :

f^{'} > 0

croissante,

f^{'} < 0

décroissante.

Ex :

f (x) = x^{2}, f^{'} (x) = 2 x < 0

sur

] - \infty, 0 [

: décroissante

👁️ Tu vois

« extremum » / « valeur maximale ou minimale »

⚡ Le réflexe

Chercher où $f^{'}$ s'annule en changeant de signe : extremum local en ce point.

Ex :

f (x) = x^{2}, f^{'} (0) = 0

: minimum en

x = 0

f (0) = 0

👁️ Tu vois

f

admet une solution à

f (x) = k

⚡ Le réflexe

Théorème des valeurs intermédiaires : si

f

continue et monotone et

k

entre les bornes, unique solution.

Ex :

f (x) = x^{3} - x - 1

continue,

f (1) < 0 < f (2)

: une racine sur

] 1, 2 [

Dénombrement & probabilités 6

👁️ Tu vois

« nombre de façons » avec étapes successives

⚡ Le réflexe

Principe multiplicatif : multiplier les nombres de choix de chaque étape.

Ex :

3

entrées et

4

plats donnent

3 \times 4 = 12

menus

👁️ Tu vois

tirage ordonné SANS répétition (arrangement)

⚡ Le réflexe

Arrangements :

A_{n}^{p} = \frac{n !}{( n - p )!}

Ex :

A_{5}^{2} = \frac{5 !}{3 !} = 20

podiums de

2

parmi

5

👁️ Tu vois

tirage NON ordonné sans répétition (choix d'un groupe)

⚡ Le réflexe

Combinaisons :

(p n) = \frac{n !}{p ! ( n - p )!}

Ex :

(2 5) = \frac{5 !}{2 ! 3 !} = 10

équipes de

2

parmi

5

👁️ Tu vois

ranger

n

objets distincts en ligne (permutation)

⚡ Le réflexe

Permutations :

n!

ordres possibles.

Ex :

4

livres se rangent de

4! = 24

façons

👁️ Tu vois

« probabilité » en situation d'équiprobabilité

⚡ Le réflexe

Formule de Laplace :

p (A) = \frac{cas favorables}{cas possibles}

Ex : Dé :

p (pair) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

👁️ Tu vois

événement « contraire », « au moins un »

⚡ Le réflexe

Passer au complémentaire :

p (A) = 1 - p (\overset{ˉ}{A})

Ex :

p (au moins un pile sur 2) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

Géométrie dans l'espace 6

👁️ Tu vois

vecteurs

u, v, w

et « coplanaires ? »

⚡ Le réflexe

Coplanarité :

w = a u + b v

; trois vecteurs sont coplanaires s'il existe une telle combinaison.

Ex :

w = 2 u - v \Rightarrow

coplanaires

👁️ Tu vois

« équation cartésienne d'un plan » et un vecteur normal

⚡ Le réflexe

Plan :

a x + b y + cz + d = 0

avec

n (a, b, c)

normal au plan.

Ex :

n (1, 2, 3), A (0, 0, 0) : x + 2 y + 3 z = 0

👁️ Tu vois

« représentation paramétrique d'une droite »

⚡ Le réflexe

Droite passant par

A

de vecteur

u

M = A + t u, t \in R

Ex :

A (1, 0, 2), u (1, 1, 0) : (x, y, z) = (1 + t, t, 2)

👁️ Tu vois

produit scalaire dans l'espace, « perpendiculaire »

⚡ Le réflexe

Orthogonalité :

u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'} = 0

Ex :

u (1, 2, - 1) \cdot v (2, - 1, 0) = 2 - 2 + 0 = 0

: orthogonaux

👁️ Tu vois

« longueur », « distance entre deux points »

⚡ Le réflexe

Norme :

A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}

Ex :

A (0, 0, 0), B (1, 2, 2) : A B = 1 + 4 + 4 = 3

👁️ Tu vois

« sphère de centre

Ω

et rayon

R

⚡ Le réflexe

Équation de la sphère :

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}

Ex :

Ω (1, 0, 0), R = 2 : (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 4

Le réflexe ne suffit pas sans la rédaction : le Barème décodé · l'Atlas des erreurs

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