⚡ 152 réflexes · Terminale Spé · Maths Expertes

Le bon réflexe

Un bon élève ne « cherche » pas au hasard : il reconnaît le type de question et déclenche la bonne méthode. Cette page rassemble, chapitre par chapitre, les réflexes qui font gagner du temps (et des points) au bac.

Pour chaque situation : ce que tu vois dans l'énoncé, le réflexe à déclencher, et un exemple express.

Nombres et calculs 5

👁️ Tu vois

On te demande de factoriser une expression

⚡ Le réflexe

Cherche un facteur commun ou applique une identité remarquable

Ex :

x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)

5 x + x^{2} = x (5 + x)

👁️ Tu vois

On te demande de développer un produit

⚡ Le réflexe

Applique la double distributivité ou une identité remarquable

Ex :

(x + 2) (x - 3) = x^{2} - 3 x + 2 x - 6 = x^{2} - x - 6

👁️ Tu vois

Tu vois des puissances à multiplier ou diviser

⚡ Le réflexe

Utilise les règles des exposants : on ajoute ou on soustrait les puissances

Ex :

\frac{2 ^{7}}{2 ^{3}} = 2^{7 - 3} = 2^{4} = 16

👁️ Tu vois

Une racine carrée apparaît dans un calcul

⚡ Le réflexe

Simplifie en sortant les carrés parfaits du radical

Ex :

50 = 25 \times 2 = 52

👁️ Tu vois

Tu dois additionner des fractions

⚡ Le réflexe

Mets-les au même dénominateur avant d'additionner les numérateurs

Ex :

\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}

Équations et inéquations 5

👁️ Tu vois

On te demande de résoudre une équation du premier degré

⚡ Le réflexe

Isole l'inconnue en regroupant les

x

d'un côté et les nombres de l'autre

Ex :

3 x + 5 = 11 \Rightarrow 3 x = 6 \Rightarrow x = 2

👁️ Tu vois

Un produit de facteurs est nul

⚡ Le réflexe

Applique la règle : un produit est nul si l'un des facteurs est nul

Ex :

(x - 2) (x + 5) = 0 \Rightarrow x = 2

x = - 5

👁️ Tu vois

Tu dois résoudre une inéquation

⚡ Le réflexe

Isole

x

, mais change le sens de l'inégalité si tu divises par un nombre négatif

Ex :

- 2 x > 6 \Rightarrow x < - 3

👁️ Tu vois

On te demande l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle

⚡ Le réflexe

Traduis l'inégalité en intervalle en soignant crochets ouverts/fermés

Ex :

x \geq 4

s'écrit

[4; + \infty [

👁️ Tu vois

L'énoncé est un problème en français à modéliser

⚡ Le réflexe

Choisis une inconnue, mets en équation, résous puis interprète

Ex : « Un nombre augmenté de 7 vaut 20 » donne

x + 7 = 20

, soit

x = 13

Fonctions : généralités 5

👁️ Tu vois

On te demande l'image d'un nombre par

f

⚡ Le réflexe

Remplace

x

par la valeur dans l'expression de

f

et calcule

Ex : Si

f (x) = x^{2} + 1

, alors

f (3) = 3^{2} + 1 = 10

👁️ Tu vois

On cherche un antécédent d'un nombre

⚡ Le réflexe

Résous l'équation

f (x) = k

pour trouver le ou les

x

Ex :

f (x) = 2 x

, antécédent de

10

2 x = 10 \Rightarrow x = 5

👁️ Tu vois

On te demande le sens de variation sur un intervalle

⚡ Le réflexe

Regarde si

f

croît (monte) ou décroît (descend) quand

x

augmente

Ex : Sur

[0; + \infty [

f (x) = x^{2}

est croissante

👁️ Tu vois

On te donne une courbe et tu dois lire des valeurs

⚡ Le réflexe

Lis graphiquement : une image se lit en ordonnée, un antécédent en abscisse

Ex : Si le point

(2; 5)

est sur la courbe, alors

f (2) = 5

👁️ Tu vois

On te demande de dresser un tableau de variations

⚡ Le réflexe

Indique les flèches de variation et les extremums (min/max)

Ex :

f (x) = x^{2}

: décroît puis croît, minimum

0

x = 0

Fonctions de référence 5

👁️ Tu vois

On reconnaît une fonction affine

f (x) = a x + b

⚡ Le réflexe

a

est le coefficient directeur (pente),

b

l'ordonnée à l'origine

Ex :

f (x) = 2 x - 3

: pente

a = 2

, coupe l'axe des ordonnées en

- 3

👁️ Tu vois

On étudie la fonction carré

f (x) = x^{2}

⚡ Le réflexe

Rappelle-toi : elle est décroissante sur

] - \infty; 0]

puis croissante, courbe en parabole

Ex :

f (- 2) = f (2) = 4

: la parabole est symétrique

👁️ Tu vois

On étudie la fonction inverse

f (x) = \frac{1}{x}

⚡ Le réflexe

Pense à exclure

x = 0

et au fait qu'elle est décroissante sur chaque intervalle

Ex :

f (2) = \frac{1}{2}

f (\frac{1}{2}) = 2

, courbe en hyperbole

👁️ Tu vois

On étudie la fonction racine carrée

f (x) = x

⚡ Le réflexe

Elle est définie pour

x \geq 0

et croissante sur

[0; + \infty [

Ex :

f (9) = 9 = 3

f (0) = 0

👁️ Tu vois

On compare deux nombres avec une fonction de référence

⚡ Le réflexe

Utilise le sens de variation pour comparer les images sans tout calculer

Ex : Comme la fonction carré croît sur

[0; + \infty [

3 < 5

donne

9 < 25

Géométrie repérée 5

👁️ Tu vois

On te demande la distance entre deux points

⚡ Le réflexe

Applique la formule de la distance

A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}

Ex :

A (1; 2)

B (4; 6)

A B = 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5

👁️ Tu vois

On te demande les coordonnées du milieu d'un segment

⚡ Le réflexe

Prends la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées

Ex : Milieu de

A (2; 4)

B (6; 8)

M (\frac{2 + 6}{2}; \frac{4 + 8}{2}) = M (4; 6)

👁️ Tu vois

On te demande l'équation d'une droite

⚡ Le réflexe

Écris

y = m x + p

et détermine le coefficient directeur

m

puis l'ordonnée à l'origine

p

Ex : Pente

2

passant par

(0; - 1)

y = 2 x - 1

👁️ Tu vois

On te donne deux points et on demande le coefficient directeur

⚡ Le réflexe

Calcule

m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}

Ex :

A (1; 2)

B (3; 8)

m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = 3

👁️ Tu vois

On te demande si trois points sont alignés

⚡ Le réflexe

Compare les coefficients directeurs (ou la colinéarité des vecteurs) entre les points

Ex : Si

(A B)

(A C)

ont le même

m

, alors

A

B

C

sont alignés

Vecteurs 5

👁️ Tu vois

On te demande les coordonnées d'un vecteur

A B

⚡ Le réflexe

Calcule

A B (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})

: arrivée moins départ

Ex :

A (1; 2)

B (4; 7)

A B (3; 5)

👁️ Tu vois

On te demande la somme de deux vecteurs

⚡ Le réflexe

Additionne coordonnée par coordonnée (relation de Chasles si besoin)

Ex :

u (1; 3) + v (2; - 1) = w (3; 2)

👁️ Tu vois

On te demande si deux vecteurs sont colinéaires

⚡ Le réflexe

Vérifie que le déterminant

x y^{'} - x^{'} y

est nul

Ex :

u (2; 3)

v (4; 6)

2 \times 6 - 4 \times 3 = 0

, donc colinéaires

👁️ Tu vois

On veut montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme

⚡ Le réflexe

Montre l'égalité de vecteurs

A B = D C

Ex : Si

A B (3; 1) = D C (3; 1)

, alors

A B C D

est un parallélogramme

👁️ Tu vois

On cherche les coordonnées d'un point à partir d'une égalité vectorielle

⚡ Le réflexe

Traduis l'égalité en équations sur les coordonnées et résous

Ex :

A M (x - 1; y - 2) = u (3; 4)

donne

x = 4

y = 6

Statistiques 5

👁️ Tu vois

On te demande la moyenne d'une série

⚡ Le réflexe

Additionne toutes les valeurs et divise par l'effectif total (pondère si nécessaire)

Ex : Série

4, 6, 8, 10

\frac{4 + 6 + 8 + 10}{4} = 7

👁️ Tu vois

On te demande la médiane

⚡ Le réflexe

Ordonne les valeurs puis prends celle du milieu (partage en deux)

Ex : Pour

3, 5, 7, 9, 11

la médiane est

7

👁️ Tu vois

On te demande les quartiles

Q_{1}

Q_{3}

⚡ Le réflexe

Cherche les valeurs au quart et aux trois quarts de la série ordonnée

Ex : Effectif

8

Q_{1}

est la

2^{e}

valeur (car

0, 25 \times 8 = 2

)

👁️ Tu vois

On te demande l'étendue ou un écart

⚡ Le réflexe

Calcule la différence entre la plus grande et la plus petite valeur

Ex : Valeurs de

5

18

: étendue

= 18 - 5 = 13

👁️ Tu vois

Les données sont rangées dans un tableau d'effectifs

⚡ Le réflexe

Pour la moyenne, utilise la somme des (valeur $\times$ effectif) divisée par l'effectif total

Ex :

\frac{2 \times 3 + 5 \times 1}{4} = \frac{11}{4} = 2, 75

Probabilités 5

👁️ Tu vois

On te demande de décrire l'univers d'une expérience

⚡ Le réflexe

Liste toutes les issues possibles de l'expérience aléatoire

Ex : Lancer d'un dé :

Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

👁️ Tu vois

On est en situation d'équiprobabilité

⚡ Le réflexe

Applique

P = \frac{nombre de cas favorables}{nombre de cas possibles}

Ex : Tirer un roi dans

32

cartes :

P = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}

👁️ Tu vois

On te demande la probabilité de l'événement contraire

⚡ Le réflexe

Utilise

P (\overline{A}) = 1 - P (A)

Ex : Si

P (A) = 0, 3

, alors

P (\overline{A}) = 1 - 0, 3 = 0, 7

👁️ Tu vois

On combine deux événements avec « ou »

⚡ Le réflexe

Pour des événements incompatibles,

P (A \cup B) = P (A) + P (B)

Ex : Dé :

P (1 ou 6) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}

👁️ Tu vois

On répète une expérience et on parle d'échantillon

⚡ Le réflexe

Distingue la fréquence observée (expérience) de la probabilité théorique

Ex : Sur

100

lancers de pièce, on observe

\approx 50

« pile », fréquence

\approx 0, 5

Limites & continuité 5

👁️ Tu vois

Une limite de la forme

\frac{0}{0}

avec des polynômes

⚡ Le réflexe

Factorise le numérateur et le dénominateur (souvent par

(x - a)

), puis simplifie.

Ex :

x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x \to 1 lim \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x - 1} = 2

👁️ Tu vois

Une forme

\frac{0}{0}

avec des racines carrées

⚡ Le réflexe

Multiplie par la quantité conjuguée pour faire disparaître la racine.

Ex :

\frac{x - 2}{x - 4} = \frac{1}{x + 2} x \to 4 \frac{1}{4}

👁️ Tu vois

Une limite en

\pm \infty

d'un quotient de polynômes

⚡ Le réflexe

Factorise par le terme dominant (la plus haute puissance) en haut et en bas.

Ex :

\frac{3 x ^{2} - x}{2 x ^{2} + 1} \sim \frac{3 x ^{2}}{2 x ^{2}} x \to + \infty \frac{3}{2}

👁️ Tu vois

Montrer que

f

est continue en $a$ (définie par morceaux)

⚡ Le réflexe

Vérifie

x \to a^{-} lim f = x \to a^{+} lim f = f (a)

Ex :

f (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}

f (2) = 4

x \to 2 lim f = 4 = f (2)

👁️ Tu vois

Montrer que l'équation

f (x) = 0

admet une solution

⚡ Le réflexe

TVI :

f

continue et

f (a) f (b) < 0

. Pour l'unicité, ajoute la stricte monotonie.

Ex :

f (x) = x^{3} + x - 1

f (0) = - 1 < 0

f (1) = 1 > 0

⇒ racine dans

] 0; 1 [

Suites numériques 5

👁️ Tu vois

Une suite récurrente

u_{n + 1} = f (u_{n})

⚡ Le réflexe

Étudie

f

(monotonie), le signe de

u_{n + 1} - u_{n}

, et encadre

(u_{n})

par récurrence.

Ex :

u_{n + 1} = u_{n} + 2

f (x) = x + 2

croissante

👁️ Tu vois

Prouver une propriété pour tout $n$

⚡ Le réflexe

Récurrence : initialisation + hérédité.

Ex : Montrer

k = 0 \sum n k = \frac{n ( n + 1 )}{2}

par récurrence

👁️ Tu vois

Montrer qu'une suite converge

⚡ Le réflexe

Montre qu'elle est croissante et majorée (ou décroissante et minorée).

Ex :

u_{n}

croissante et

u_{n} ⩽ 3

⇒

(u_{n})

converge

👁️ Tu vois

Une suite récurrente convergente, on cherche sa limite $ℓ$

⚡ Le réflexe

Résous l'équation

f (ℓ) = ℓ

(point fixe).

Ex :

u_{n + 1} = \frac{u _{n} + 2}{2} \Rightarrow ℓ = \frac{ℓ + 2}{2} \Rightarrow ℓ = 2

👁️ Tu vois

Une somme

u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}

⚡ Le réflexe

Reconnais si la suite est arithmétique ou géométrique et applique la formule.

Ex :

1 + q + \dots + q^{n} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}

(

q \neq = 1

)

Dérivation & étude de fonctions 5

👁️ Tu vois

On demande le sens de variation

⚡ Le réflexe

Étudie le signe de $f^{'} (x)$ et dresse le tableau de variations.

Ex :

f (x) = x^{2} - 2 x

f^{'} (x) = 2 x - 2

: décroît puis croît en

x = 1

👁️ Tu vois

Montrer une inégalité

f (x) ⩾ g (x)

⚡ Le réflexe

Étudie

h = f - g

: son signe via sa dérivée (souvent un minimum

⩾ 0

Ex :

e^{x} ⩾ x + 1

h (x) = e^{x} - x - 1

, minimum

h (0) = 0

👁️ Tu vois

Une tangente en

x = a

⚡ Le réflexe

y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)

Ex :

f (x) = x^{2}

1

y = 2 (x - 1) + 1 = 2 x - 1

👁️ Tu vois

On majore

∣ f (b) - f (a) ∣

⚡ Le réflexe

Inégalité des accroissements finis :

∣ f (b) - f (a) ∣ ⩽ M ∣ b - a ∣

Ex :

∣ sin b - sin a ∣ ⩽ ∣ b - a ∣

car

∣ cos ∣ ⩽ 1

👁️ Tu vois

Un extremum en

a

⚡ Le réflexe

f^{'} (a) = 0

f^{'}

change de signe en

a

Ex :

f (x) = x^{3}

f^{'} (0) = 0

mais aucun extremum

Fonctions logarithmiques 4

👁️ Tu vois

Une équation/inéquation avec

ln

⚡ Le réflexe

Cherche d'abord le domaine (ce qui est sous

ln

doit être

> 0

), puis utilise que

ln

est strictement croissante et bijective.

Ex :

ln (x - 1) = ln 3 ⟺ x - 1 = 3 ⟺ x = 4

(avec

x > 1

)

👁️ Tu vois

ln

d'un produit, quotient ou puissance

⚡ Le réflexe

Casse avec les propriétés :

ln (ab) = ln a + ln b

ln \frac{a}{b} = ln a - ln b

ln (a^{n}) = n ln a

Ex :

ln (x^{2}) = 2 ln ∣ x ∣

👁️ Tu vois

Une limite avec

ln

+ \infty

ou en

0^{+}

⚡ Le réflexe

Pense aux croissances comparées :

x

l'emporte sur

ln x

Ex :

x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0

👁️ Tu vois

Dériver

ln (u (x))

⚡ Le réflexe

(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}

(avec

u > 0

Ex :

(ln (x^{2} + 1))^{'} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}

Fonctions exponentielles 4

👁️ Tu vois

Une équation/inéquation avec

e^{x}

⚡ Le réflexe

Utilise

e^{a} = e^{b} ⟺ a = b

e^{a} < e^{b} ⟺ a < b

. Rappel :

e^{x} > 0

toujours.

Ex :

e^{2 x} = e^{x + 1} ⟺ 2 x = x + 1 ⟺ x = 1

👁️ Tu vois

Une limite avec

e^{x}

⚡ Le réflexe

Croissances comparées :

e^{x}

l'emporte sur toute puissance de

x

Ex :

x \to + \infty lim x e^{- x} = 0

👁️ Tu vois

Dériver

e^{u (x)}

⚡ Le réflexe

(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}

Ex :

(e^{x^{2}})^{'} = 2 x e^{x^{2}}

👁️ Tu vois

Simplifier une expression avec exp et ln

⚡ Le réflexe

e^{l n a} = a

(

a > 0

) et

ln (e^{x}) = x

Ex :

e^{2 l n x} = (e^{l n x})^{2} = x^{2}

(

x > 0

)

Équations différentielles 4

👁️ Tu vois

y^{'} = a y

⚡ Le réflexe

Solutions :

x \mapsto C e^{a x}

Ex :

y^{'} = 2 y \Rightarrow y = C e^{2 x}

👁️ Tu vois

y^{'} = a y + b

⚡ Le réflexe

Cherche une solution particulière constante

y_{p} = - \frac{b}{a}

, puis ajoute l'homogène.

Ex :

y^{'} = 2 y + 4 \Rightarrow y_{p} = - 2, y = C e^{2 x} - 2

👁️ Tu vois

y^{''} + ω^{2} y = 0

⚡ Le réflexe

Solutions :

x \mapsto A cos (ω x) + B sin (ω x)

Ex :

y^{''} + 4 y = 0 \Rightarrow y = A cos (2 x) + B sin (2 x)

👁️ Tu vois

Des conditions initiales

y (x_{0}), y^{'} (x_{0})

⚡ Le réflexe

Injecte-les dans la solution générale pour déterminer les constantes.

Ex :

y (0) = 1

dans

y = C e^{2 x} \Rightarrow C = 1

Dénombrement 4

👁️ Tu vois

Un tirage ordonné, sans remise

⚡ Le réflexe

Arrangements :

A_{n}^{p} = \frac{n !}{( n - p )!}

Ex :

A_{5}^{2} = 5 \times 4 = 20

👁️ Tu vois

Un tirage non ordonné (une poignée, un comité)

⚡ Le réflexe

Combinaisons :

(p n) = \frac{n !}{p ! ( n - p )!}

Ex :

(2 5) = 10

👁️ Tu vois

Un tirage ordonné avec remise (codes, mots)

⚡ Le réflexe

Principe multiplicatif :

p^{n}

(ou

n^{p}

selon l'énoncé).

Ex : Codes de

3

chiffres :

1 0^{3} = 1000

👁️ Tu vois

« au moins » dans un dénombrement

⚡ Le réflexe

Compte le contraire (le « aucun ») et soustrais du total.

Ex : au moins un as

= (5 52) - (5 48)

Calcul intégral 4

👁️ Tu vois

\int

d'un produit (polynôme

\times

e^{x}

ln

cos

…)

⚡ Le réflexe

Intégration par parties.

Ex :

\int x e^{x} d x = x e^{x} - \int e^{x} d x = (x - 1) e^{x}

👁️ Tu vois

Une intégrale

\int u^{'} (x) g (u (x)) d x

⚡ Le réflexe

Reconnais une primitive composée (

\frac{u ^{'}}{u} \to ln ∣ u ∣

u^{'} e^{u} \to e^{u}

Ex :

\int \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x = ln (x^{2} + 1)

👁️ Tu vois

L'aire entre deux courbes

⚡ Le réflexe

a \int b (f - g)

où

f ⩾ g

sur

[a, b]

Ex :

0 \int 1 (x - x^{2}) d x = \frac{1}{6}

(entre

y = x

y = x^{2}

)

👁️ Tu vois

- a \int a

d'une fonction paire ou impaire

⚡ Le réflexe

Impaire

\Rightarrow 0

; paire

\Rightarrow 2 0 \int a

Ex :

- 1 \int 1 x^{3} d x = 0

(impaire)

Probabilités 3

👁️ Tu vois

L'événement « au moins un »

⚡ Le réflexe

Passe par l'événement contraire :

P (A) = 1 - P (\overset{ˉ}{A})

Ex :

P (au moins un 6) = 1 - (\frac{5}{6})^{n}

👁️ Tu vois

Des tirages avec remise (succès/échec)

⚡ Le réflexe

Loi binomiale

B (n, p)

Ex :

P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

👁️ Tu vois

Une probabilité « sachant que »

⚡ Le réflexe

Probabilité conditionnelle

P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}

Ex :

P (A \cap B) = 0, 2

P (B) = 0, 5

⇒

P_{B} (A) = 0, 4

Géométrie dans l'espace 4

👁️ Tu vois

Une orthogonalité (droites, ou droite/plan)

⚡ Le réflexe

Calcule le produit scalaire : il est nul

⟺

orthogonaux.

Ex :

u \cdot v = 0 ⟺ u ⊥ v

👁️ Tu vois

Trouver l'équation d'un plan

⚡ Le réflexe

Un vecteur normal

n = (a, b, c)

donne

a x + b y + cz + d = 0

; trouve

d

avec un point.

Ex :

n = (1, 2, - 1)

, passe par

A (0, 0, 0)

x + 2 y - z = 0

👁️ Tu vois

La distance d'un point à un plan

(P) : a x + b y + cz + d = 0

⚡ Le réflexe

d (M, P) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}

Ex :

M (1, 0, 0)

(P) : x = 0

d = \frac{∣1∣}{1} = 1

👁️ Tu vois

Un vecteur normal à un plan / une aire

⚡ Le réflexe

Utilise le produit vectoriel

u \land v

Ex : aire du triangle

= \frac{1}{2} ∥ A B \land A C ∥

Nombres complexes 5

👁️ Tu vois

On demande la nature d'un triangle

A B C

⚡ Le réflexe

Calcule

\frac{c - a}{b - a}

: son module compare les longueurs, son argument donne l'angle.

Ex :

\frac{c - a}{b - a} = i

⇒ rectangle isocèle en

A

👁️ Tu vois

Montrer que trois points sont alignés

⚡ Le réflexe

\frac{c - a}{b - a} \in R

Ex :

\frac{c - a}{b - a} = 2 \in R

⇒

A, B, C

alignés

👁️ Tu vois

Un triangle rectangle / une orthogonalité

⚡ Le réflexe

\frac{c - a}{b - a}

est imaginaire pur.

Ex :

\frac{c - a}{b - a} = - i

⇒

A = \frac{π}{2}

👁️ Tu vois

On demande une puissance

z^{n}

⚡ Le réflexe

Mets

z

sous forme trigonométrique et applique Moivre.

Ex :

(1 + i)^{8} = (2)^{8} e^{i 2 π} = 16

👁️ Tu vois

Un lieu de points

M (z)

⚡ Le réflexe

Pose

z = x + i y

, ou interprète

∣ z - a ∣ = r

(cercle).

Ex :

∣ z - i ∣ = 2

⇒ cercle de centre

Ω (i)

, rayon

2

Arithmétique 4

👁️ Tu vois

Résoudre

a x + b y = c

dans

Z

⚡ Le réflexe

Vérifie que

a \land b

divise

c

(Bézout), trouve une solution particulière, puis la solution générale.

Ex :

3 x + 5 y = 1

3 (2) + 5 (- 1) = 1

⇒

(x_{0}, y_{0}) = (2, - 1)

👁️ Tu vois

a ∣ b c

avec

a \land b = 1

⚡ Le réflexe

Théorème de Gauss : alors

a ∣ c

Ex :

7 ∣ 3 k

7 \land 3 = 1

⇒

7 ∣ k

👁️ Tu vois

Calculer le reste de $a^{n}$ modulo $m$

⚡ Le réflexe

Cherche la périodicité des puissances (ou petit théorème de Fermat).

Ex :

2^{n} [7]

2, 4, 1, 2, 4, 1 \dots

période

3

👁️ Tu vois

Montrer que deux entiers sont premiers entre eux

⚡ Le réflexe

Trouve

u, v

tels que

a u + b v = 1

(Bézout).

Ex :

(n + 1) (1) + n (- 1) = 1

⇒

n

n + 1

premiers entre eux

Second degré 5

👁️ Tu vois

On te demande le nombre de solutions de

a x^{2} + b x + c = 0

⚡ Le réflexe

Calcule le discriminant

Δ = b^{2} - 4 a c

: si

Δ > 0

deux solutions, si

Δ = 0

une solution double, si

Δ < 0

aucune solution réelle

Ex :

x^{2} - 5 x + 6 = 0

Δ = 25 - 24 = 1 > 0

, deux solutions

x = 2

x = 3

👁️ Tu vois

On te demande de factoriser

a x^{2} + b x + c

⚡ Le réflexe

Δ > 0

, factorise :

a (x - x_{1}) (x - x_{2})

avec

x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}

Ex :

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

👁️ Tu vois

On te demande le signe de

a x^{2} + b x + c

⚡ Le réflexe

Règle du signe : si

Δ < 0

, le trinôme a le signe de

a

partout ; si

Δ > 0

, il est du signe de

a

à l'extérieur des racines et du signe opposé entre les racines

Ex :

- x^{2} + x + 2

: racines

- 1

2

, négatif sur

] - \infty; - 1 [\cup] 2; + \infty [

👁️ Tu vois

On te demande la valeur minimale ou maximale d'un trinôme

⚡ Le réflexe

Forme canonique :

a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a}

; le sommet est en

x_{S} = - \frac{b}{2 a}

Ex :

x^{2} - 4 x + 7 = (x - 2)^{2} + 3

, minimum

3

x = 2

👁️ Tu vois

On te demande de résoudre une inéquation du second degré

⚡ Le réflexe

Factoriser puis dresser un tableau de signes, conclure selon le signe de

a

Ex :

x^{2} - x - 6 \leq 0 \Rightarrow (x + 2) (x - 3) \leq 0 \Rightarrow x \in [- 2; 3]

Suites numériques 5

👁️ Tu vois

La suite est définie par récurrence

u_{n + 1} = f (u_{n})

⚡ Le réflexe

Étudier $f (x) - x$ pour trouver les points fixes, puis comparer

u_{n + 1} - u_{n}

au signe de

f (x) - x

pour la monotonie

Ex :

u_{n + 1} = \frac{u _{n} + 3}{2}

f (x) - x = \frac{3 - x}{2}

, si

u_{0} < 3

la suite est croissante

👁️ Tu vois

On te demande de démontrer par récurrence une propriété

P (n)

⚡ Le réflexe

Initialisation : vérifier

P (0)

. Hérédité : supposer

P (n)

vraie, montrer

P (n + 1)

. Conclusion.

Ex : Montrer

u_{n} \geq 0

u_{0} = 1 \geq 0

✓ ; si

u_{n} \geq 0

alors

u_{n + 1} = u_{n} + 2 \geq 0

✓

👁️ Tu vois

La suite est arithmétique de raison

r

⚡ Le réflexe

Formule explicite

u_{n} = u_{0} + n r

et somme

S = \frac{( premier + dernier ) \times nb termes}{2}

Ex :

u_{0} = 2, r = 3 \Rightarrow u_{10} = 32

👁️ Tu vois

La suite est géométrique de raison

q

⚡ Le réflexe

Formule explicite

u_{n} = u_{0} \cdot q^{n}

et somme

S = u_{0} \frac{1 - q ^{n}}{1 - q}

(si

q \neq = 1

)

Ex :

u_{0} = 1, q = 2 \Rightarrow u_{5} = 32

S_{5} = 31

👁️ Tu vois

On te demande la limite d'une suite géométrique

⚡ Le réflexe

∣ q ∣ < 1

alors

q^{n} \to 0

. Si

q > 1

alors

q^{n} \to + \infty

. Si

q = 1

, constante. Si

q \leq - 1

, pas de limite

Ex :

(\frac{1}{2})^{n} \to 0

car

\frac{1}{2} < 1

Dérivation 5

👁️ Tu vois

On te demande les variations de

f

⚡ Le réflexe

Calcule $f^{'} (x)$ , résous

f^{'} (x) = 0

, dresse le tableau de signes de $f^{'}$ :

f^{'} > 0 \Rightarrow f

croissante,

f^{'} < 0 \Rightarrow f

décroissante

Ex :

f (x) = x^{2} - 4 x + 1

f^{'} (x) = 2 x - 4 = 0

x = 2

: décrois. puis crois.

👁️ Tu vois

On te demande les extrema de

f

⚡ Le réflexe

Les extrema locaux sont aux points où $f^{'}$ change de signe :

+

-

= maximum local,

-

+

= minimum local

Ex :

f^{'} (x) = (x - 1) (x - 3)

: min en

x = 1

, max en

x = 3

(sur le bon intervalle)

👁️ Tu vois

On te demande la tangente en

a

⚡ Le réflexe

Équation :

y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)

. Pente =

f^{'} (a)

, ordonnée à l'origine obtenue par

x = a

Ex :

f (x) = x^{2}

a = 1

y = 2 (x - 1) + 1 = 2 x - 1

👁️ Tu vois

On te demande de dériver un produit

u \cdot v

⚡ Le réflexe

$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$

Ex :

f (x) = x^{2} e^{x}

f^{'} (x) = 2 x e^{x} + x^{2} e^{x} = x e^{x} (x + 2)

👁️ Tu vois

On te demande de dériver un quotient

\frac{u}{v}

⚡ Le réflexe

$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$

Ex :

f (x) = \frac{x}{x + 1}

f^{'} (x) = \frac{1 \cdot ( x + 1 ) - x \cdot 1}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}

Fonction exponentielle 5

👁️ Tu vois

On te demande de résoudre

e^{f (x)} > e^{g (x)}

⚡ Le réflexe

$e^{a} > e^{b} \Leftrightarrow a > b$ (exp est croissante et bijective)

Ex :

e^{2 x - 1} > e^{x + 3} \Leftrightarrow 2 x - 1 > x + 3 \Leftrightarrow x > 4

👁️ Tu vois

On te demande la dérivée de

e^{u (x)}

⚡ Le réflexe

$(e^{u})^{'} = u^{'} \cdot e^{u}$ : dérivée de l'exposant × exp

Ex :

f (x) = e^{x^{2} + 1} \Rightarrow f^{'} (x) = 2 x \cdot e^{x^{2} + 1}

👁️ Tu vois

On te demande la limite de

e^{x}

\pm \infty

⚡ Le réflexe

x \to + \infty lim e^{x} = + \infty

x \to - \infty lim e^{x} = 0

. Croissance comparée :

e^{x} ≫ x^{n}

+ \infty

, donc

\frac{x ^{n}}{e ^{x}} \to 0

Ex :

x \to + \infty lim \frac{x ^{100}}{e ^{x}} = 0

👁️ Tu vois

L'expression contient

e^{x}

et une inégalité

⚡ Le réflexe

$e^{x} > 0$ toujours : diviser par

e^{x}

ne change pas le sens de l'inégalité

Ex :

e^{x} (x - 1) > 0 \Leftrightarrow x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1

👁️ Tu vois

On te demande d'étudier

f (x) = e^{x} \cdot g (x)

⚡ Le réflexe

Factoriser par $e^{x}$ dans

f^{'}

f^{'} (x) = e^{x} (g^{'} (x) + g (x))

, le signe de

f^{'}

est celui de

g^{'} + g

Ex :

f (x) = x e^{x}

f^{'} (x) = e^{x} (1 + x)

, signe de

f^{'}

= signe de

1 + x

Produit scalaire 2D 5

👁️ Tu vois

On te demande si deux vecteurs sont orthogonaux

⚡ Le réflexe

$u \cdot v = x_{u} x_{v} + y_{u} y_{v} = 0$

\Leftrightarrow

orthogonalité

Ex :

u = (2; 3)

v = (3; - 2)

6 - 6 = 0

✓

👁️ Tu vois

On te demande l'angle entre deux vecteurs

⚡ Le réflexe

cos (u, v) = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥∥ v ∥}

, puis

θ = arccos (\dots)

Ex :

u = (1; 0)

v = (1; 1)

cos θ = \frac{1}{2}

θ = 45°

👁️ Tu vois

On connaît les longueurs des trois côtés d'un triangle

⚡ Le réflexe

Identité de polarisation :

A B \cdot A C = \frac{A B ^{2} + A C ^{2} - B C ^{2}}{2}

Ex :

A B = 3, A C = 4, B C = 5

A B \cdot A C = \frac{9 + 16 - 25}{2} = 0

→ angle droit en

A

👁️ Tu vois

L'énoncé donne l'équation d'un cercle

⚡ Le réflexe

Cercle centre

Ω (a; b)

rayon

r

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

. Point sur le cercle

\Leftrightarrow

distance à

Ω

vaut

r

Ex : Centre

(1; 2)

, rayon

3

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9

👁️ Tu vois

On te demande l'équation d'une droite perpendiculaire

⚡ Le réflexe

Si la droite a pour équation

a x + b y + c = 0

, son vecteur normal est $(a; b)$ et directeur est

(- b; a)

Ex :

3 x - 2 y + 1 = 0

: normal

(3; - 2)

, directeur

(2; 3)

Dénombrement & probabilités 5

👁️ Tu vois

On choisit

k

éléments dans un ordre précis parmi

n

⚡ Le réflexe

Arrangement

A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!}

: l'ordre compte

Ex : Podium 3 parmi 10 :

10 \times 9 \times 8 = 720

👁️ Tu vois

On choisit

k

éléments sans ordre parmi

n

⚡ Le réflexe

Combinaison

(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

: l'ordre ne compte pas

Ex : Groupe de 3 parmi 10 :

(3 10) = 120

👁️ Tu vois

On répète une expérience

n

fois avec probabilité de succès $p$

⚡ Le réflexe

Loi binomiale $B (n, p)$ :

P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

E (X) = n p

Ex :

5

lancers de dé :

P (3 six) = (3 5) (\frac{1}{6})^{3} (\frac{5}{6})^{2}

👁️ Tu vois

L'énoncé présente des étapes successives avec probabilités conditionnelles

⚡ Le réflexe

Arbre de probabilités : les proba d'une branche se multiplient, celles d'un nœud s'additionnent

Ex :

P (A \cap B) = P (A) \times P (B ∣ A)

👁️ Tu vois

On connaît

P (B ∣ A)

et on cherche

P (A ∣ B)

⚡ Le réflexe

Bayes :

P (A ∣ B) = \frac{P ( A ) P ( B ∣ A )}{P ( B )}

avec

P (B) = P (A) P (B ∣ A) + P (\overset{ˉ}{A}) P (B ∣ \overset{ˉ}{A})

Ex : Test médical :

P (M ∣ +) = \frac{P ( M ) P ( + ∣ M )}{P ( + )}

Trigonométrie 4

👁️ Tu vois

On te demande

sin

cos

tan

d'un angle remarquable

⚡ Le réflexe

Table :

0, \frac{π}{6}, \frac{π}{4}, \frac{π}{3}, \frac{π}{2}

. Cosinus décroît de $1$ à $0$ :

1, \frac{3}{2}, \frac{2}{2}, \frac{1}{2}, 0

Ex :

cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

tan \frac{π}{3} = 3

👁️ Tu vois

On te demande

cos (a + b)

sin (a + b)

⚡ Le réflexe

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b

;

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b

Ex :

cos \frac{π}{12} = cos (\frac{π}{3} - \frac{π}{4}) = \frac{6 + 2}{4}

👁️ Tu vois

L'angle est négatif ou supérieur à $\frac{π}{2}$

⚡ Le réflexe

Symétries :

cos (- x) = cos x

sin (- x) = - sin x

cos (π - x) = - cos x

sin (π - x) = sin x

Ex :

sin \frac{2 π}{3} = sin (π - \frac{π}{3}) = \frac{3}{2}

👁️ Tu vois

On te demande de résoudre

cos x = a

sin x = a

⚡ Le réflexe

cos x = a

x = \pm arccos (a) + 2 k π

;

sin x = a

x = arcsin (a) + 2 k π

x = π - arcsin (a) + 2 k π

Ex :

cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{π}{3} + 2 k π

Géométrie analytique 2D 4

👁️ Tu vois

On te demande l'équation d'une droite passant par deux points

⚡ Le réflexe

Pente

m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}

, puis

y = m x + p

avec

p

trouvé en substituant un point

Ex :

A (1; 2)

B (3; 6)

m = 2

2 = 2 + p

p = 0

, donc

y = 2 x

👁️ Tu vois

On te demande la distance point-droite (

a x + b y + c = 0

)

⚡ Le réflexe

d = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}

Ex :

d (O, 3 x + 4 y - 10 = 0) = \frac{10}{5} = 2

👁️ Tu vois

On te demande le milieu de

[A B]

⚡ Le réflexe

I = (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2})

Ex :

A (2; 4)

B (6; 2)

I = (4; 3)

👁️ Tu vois

On te demande si deux droites sont parallèles ou perpendiculaires

⚡ Le réflexe

Parallèles :

m_{1} = m_{2}

. Perpendiculaires :

m_{1} \times m_{2} = - 1

Ex :

y = 2 x + 1

y = - \frac{1}{2} x + 3

2 \times (- \frac{1}{2}) = - 1

✓ perpendiculaires

Logarithme & Exponentielle 6

👁️ Tu vois

On te demande de résoudre

ln (f (x)) > 0

ln (f (x)) = k

⚡ Le réflexe

$ln (u) > 0 \Leftrightarrow u > 1$ . Vérifier d'abord que

f (x) > 0

(domaine)

Ex :

ln (2 x - 1) > 0 \Leftrightarrow 2 x - 1 > 1 \Leftrightarrow x > 1

(et

x > \frac{1}{2}

implicite)

👁️ Tu vois

On te demande de simplifier une expression avec

ln

⚡ Le réflexe

ln (ab) = ln a + ln b

ln \frac{a}{b} = ln a - ln b

ln (a^{n}) = n ln a

e^{l n x} = x

Ex :

ln (x^{2}) - ln x = ln x

pour

x > 0

👁️ Tu vois

On te demande la dérivée de

ln (u (x))

⚡ Le réflexe

$(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$

Ex :

f (x) = ln (x^{2} + 1) \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}

👁️ Tu vois

On te demande

x \to 0^{+} lim x ln x

ou une limite

0 \times \infty

⚡ Le réflexe

Limite remarquable :

x \to 0^{+} lim x ln x = 0

Ex :

x \to 0^{+} lim x ln x = 0

(par cœur)

👁️ Tu vois

On te demande une comparaison de croissances

⚡ Le réflexe

Hiérarchie :

ln x ≪ x^{n} ≪ e^{x}

+ \infty

. Donc

\frac{l n x}{x} \to 0

\frac{x ^{n}}{e ^{x}} \to 0

Ex :

x \to + \infty lim \frac{l n x}{x} = 0

👁️ Tu vois

On te demande d'étudier

f (x) = ln (u (x))

⚡ Le réflexe

Domaine :

u (x) > 0

. $f^{'} (x) = \frac{u ^{'}}{u}$ , le signe de

f^{'}

est celui de

u^{'}

(car

u > 0

)

Ex :

f (x) = ln (x^{2} - 4)

, domaine :

x \in] - \infty; - 2 [\cup] 2; + \infty [

Fonctions — étude complète 5

👁️ Tu vois

On te demande le domaine de définition

⚡ Le réflexe

Cherche les valeurs interdites : dénominateur

\neq = 0

, racine

\geq 0

ln > 0

Ex :

f (x) = \frac{l n ( x + 1 )}{x - 2}

x + 1 > 0

x \neq = 2

D =] - 1; 2 [\cup] 2; + \infty [

👁️ Tu vois

On te demande les asymptotes

⚡ Le réflexe

Verticale en

a

∣ f (x) ∣ \to + \infty

. Horizontale en

\pm \infty

f (x) \to L

. Oblique

y = a x + b

f (x) - (a x + b) \to 0

Ex :

f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x} = x + \frac{1}{x}

: asymptote oblique

y = x

👁️ Tu vois

On te demande la convexité ou les points d'inflexion

⚡ Le réflexe

Calcule $f^{''}$ :

f^{''} > 0

= convexe,

f^{''} < 0

= concave. Point d'inflexion où

f^{''}

change de signe

Ex :

f (x) = x^{3}

f^{''} (x) = 6 x

: inflexion en

x = 0

👁️ Tu vois

On te demande la parité de

f

⚡ Le réflexe

Calculer

f (- x)

f (- x) = f (x)

→ paire (axe

O y

f (- x) = - f (x)

→ impaire (symétrie en

O

)

Ex :

f (x) = x^{2} cos x

f (- x) = x^{2} cos x = f (x)

→ paire

👁️ Tu vois

On te demande le tableau de variations complet

⚡ Le réflexe

(1) domaine (2) limites aux bords (3)

f^{'}

et son signe (4) extrema (5) asymptotes

Ex :

f (x) = x e^{- x}

f^{'} (x) = (1 - x) e^{- x}

, max en

x = 1

vaut

e^{- 1}

Probabilités & Modèles 6

👁️ Tu vois

Loi binomiale

B (n, p)

, on te demande

P (X \geq k)

⚡ Le réflexe

Complémentaire :

P (X \geq k) = 1 - P (X \leq k - 1)

. Utiliser la calculatrice si

n

grand

Ex :

P (X \geq 4) = 1 - P (X \leq 3)

👁️ Tu vois

L'énoncé mentionne la loi normale

N (μ; σ^{2})

⚡ Le réflexe

Centrer-réduire :

Z = \frac{X - μ}{σ} \sim N (0; 1)

. Retenir

P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.954

Ex :

X \sim N (100; 1 5^{2})

P (X > 130) = P (Z > 2) \approx 0.023

👁️ Tu vois

On te demande un intervalle de fluctuation à 95 %

⚡ Le réflexe

I F_{95%} \approx [p - \frac{1}{n}; p + \frac{1}{n}]

(vérifier

n p \geq 5

n (1 - p) \geq 5

)

Ex :

n = 100

p = 0.4

[0.3; 0.5]

👁️ Tu vois

L'énoncé donne

P (B ∣ A)

et demande

P (A ∣ B)

⚡ Le réflexe

Bayes :

P (A ∣ B) = \frac{P ( A ) P ( B ∣ A )}{P ( B )}

avec

P (B)

par les probabilités totales

Ex : Prévalence 1 %, sensibilité 90 %, spécificité 95 % :

P (M ∣ +) \approx 15.4%

👁️ Tu vois

On te demande l'espérance et la variance

⚡ Le réflexe

B (n, p)

E = n p

V = n p (1 - p)

N (μ; σ^{2})

E = μ

V = σ^{2}

Ex :

X \sim B (20; 0.25)

E = 5

σ \approx 1.94

👁️ Tu vois

On te demande de modéliser par une loi

⚡ Le réflexe

Binomiale : répétitions indépendantes. Normale : phénomène continu ou

n

grand. Uniforme : équiprobabilité

Ex : QCM 20 questions, 4 choix au hasard :

X \sim B (20; 0.25)

Intégration 6

👁️ Tu vois

On te demande une primitive simple

⚡ Le réflexe

\int x^{n} = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1}

\int e^{x} = e^{x}

\int \frac{1}{x} = ln ∣ x ∣

\int cos x = sin x

\int sin x = - cos x

Ex :

\int (3 x^{2} + e^{x}) d x = x^{3} + e^{x} + C

👁️ Tu vois

L'intégrale contient un produit

u \cdot v^{'}

⚡ Le réflexe

Intégration par parties :

a \int b u v^{'} = [uv]_{a}^{b} - a \int b u^{'} v

. Choisir

u

= ce qui se simplifie (

ln

x^{n}

) et

v^{'}

= ce qui s'intègre (

e^{x}

cos

)

Ex :

0 \int 1 x e^{x} d x = [x e^{x}]_{0}^{1} - 0 \int 1 e^{x} d x = e - (e - 1) = 1

👁️ Tu vois

On te demande la valeur moyenne de

f

sur

[a; b]

⚡ Le réflexe

\overset{ˉ}{f} = \frac{1}{b - a} a \int b f (x) d x

Ex :

f (x) = x^{2}

sur

[0; 3]

\overset{ˉ}{f} = \frac{1}{3} \times 9 = 3

👁️ Tu vois

On te demande l'aire entre deux courbes

⚡ Le réflexe

Étudier le signe de $f - g$ , puis aire

= a \int b ∣ f - g ∣ d x

. Décomposer si le signe change

Ex : Aire entre

f (x) = x

g (x) = x^{2}

sur

[0; 1]

0 \int 1 (x - x^{2}) d x = \frac{1}{6}

👁️ Tu vois

L'intégrale est de la forme

\int \frac{u ^{'}}{u} d x

\int u^{'} e^{u} d x

⚡ Le réflexe

\int \frac{u ^{'}}{u} = ln ∣ u ∣

\int u^{'} e^{u} = e^{u}

\int e^{a x} = \frac{e ^{a x}}{a}

Ex :

\int \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x = ln (x^{2} + 1) + C

👁️ Tu vois

On te demande d'encadrer une intégrale

⚡ Le réflexe

Comparaison : si

f \leq g

sur

[a; b]

alors

a \int b f \leq a \int b g

Ex :

0 \leq x^{2} \leq x

sur

[0; 1]

donc

0 \leq 0 \int 1 x^{2} d x \leq \frac{1}{2}

Le réflexe ne suffit pas sans la rédaction : · la Cartographie des erreurs