Caractérisation de nombres par divisibilité

Soient $m$ et $n$ deux entiers strictement positifs tels que $\gcd (11^k-1,m)=\gcd (11^k-1,n)$ pour tout $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Montrer que $m=11^{r}n$ pour un certain entier $r$.