Équation avec inverses et paramètre premier

Pour tout entier positif $p$, on considère l'équation :

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{p}(1)$$

On cherche ses solutions $(x,y)$ en entiers positifs, en considérant $(x,y)$ et $(y,x)$ comme deux solutions (si $x\ne y$). Montrer que si $p$ est premier, il y a exactement trois solutions. Montrer que sinon, il y en a strictement plus.