⚖️

Inégalités

AM-GM, Cauchy-Schwarz, convexité et l'art du cas d'égalité.

L'inégalité fondamentale $x + 1/x$

Source : Type Olympiades de Première

Somme des inverses sous contrainte

Source : Classique olympique

Le cycle $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}$

Source : Entraînement Lumaths

L'inégalité de Nesbitt

Source : Type Concours Général

Maximum de $\sin A + \sin B + \sin C$ (Jensen)

Source : Classique olympique

Inégalité de Nesbitt (Cauchy-Schwarz)

International 2017

Source : IMO Shortlist

Inégalité AM-GM généralisée

Source : Olympiade Nationale française (OMM)

Inégalité de Jensen et convexité

International 2021

Source : Sélection française IMO

Inégalité de Schur

International 2023

Source : IMO Shortlist 2023

Inégalités trigonométriques dans le triangle

Source : Olympiade Nationale française (OMM)

Inégalité avec inverses et contrainte

Source : Recueil M. Aassila

Inégalité entre inverses et puissances huitièmes

Source : Recueil M. Aassila

Inégalité avec dénominateurs et contrainte quadratique

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec puissances de rapports

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Majoration de somme cyclique avec produits

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Somme de fractions avec dénominateurs cumulatifs

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équation avec partie fractionnaire d'un binôme

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Condition sur une égalité avec parties entières

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec puissances mixtes

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec termes symétriques (Japon)

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Deux derniers chiffres d'une fraction

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité Balkanique avec contrainte

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec fractions cycliques décalées

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec deux types de sommes

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Puissances quatrièmes et terme de Schur

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec produits de carrés

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Parties fractionnaires de cubes rationnels

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Somme des solutions d'une équation de Hermite

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité de Nesbitt généralisée

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Positivité de somme double avec minima

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité comparant minima de produits croisés

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Détermination de la constante optimale $K$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec double produits et somme de carrés

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité pour côtés d'un triangle (OIM 2006)

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équation avec partie entière et inverse

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité quadratique avec rapports et inverses

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énumération de nombres autour d'un cercle

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Intégralité d'une expression avec racine carrée

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Produit de trois termes positifs (Bosnie)

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec somme d'inverses de différences

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Somme cyclique non-négative (Biélorussie)

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Somme de parties entières de demi-entiers

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec racines cubiques et contrainte

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Détermination des valeurs de $n$ pour une inégalité

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité cyclique avec a+b+c=1 (Chine)

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec xyz=1

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Minoration avec triple produit (Serbie)

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Paires de réels satisfaisant une relation de commutation

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Radicaux imbriqués à évaluer

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Existence de x tel que an = ⌊nx⌋

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Somme infinie de parties entières

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équation quadratique avec partie entière

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équation mixte avec parties entière et fractionnaire

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Système avec parties entière et fractionnaire de racines carrées

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Majorant d'inégalité avec trois variables

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Somme de racines cubiques de carrés

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Somme cyclique avec contrainte multiplicative

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec contrainte harmonique

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité pour côtés d'un triangle

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Minimum pour un triangle avec somme fixée

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité de puissances avec contrainte $abc \geq 1$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Permutation et somme pondérée (OIM 1997)

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Produit de trinômes vs puissances cubiques

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Somme de racines cubiques avec contrainte symétrique

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Égalité de parties entières imbriquées

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Somme de parties entières de multiples

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équation avec partie entière et fractionnaire

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équation avec carré de la partie entière

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Somme de racines carrées fractionnaires

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Majoration de somme de racines m-ièmes

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Produit de fractions particulières

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équation avec racines et partie entière

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Produit avec termes en un sur carré

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Partie entière de la racine d'une équation

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Parité dans une suite de parties entières

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Parties fractionnaires de racines carrées égales

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité de parties entières

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équation avec partie entière et fractionnaire du même argument

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Somme de racines carrées entières

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec racines de sommes

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec inverses et cubes

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Produit de fractions successives

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Somme de parties entières de fractions

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité pour quatre variables contraintes

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Approximation irrationnelle d'une racine

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec ordre partiel

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Racines cubiques et moyennes

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité produit avec contrainte de somme

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité double avec somme de carrés

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec exposant 5 et contrainte $>1$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Trois nombres dont la somme dépasse 100

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec contrainte $xyz = -1$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec racines cubiques et contrainte de somme

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Minoration de somme pondérée d'entiers

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité entre racines et produits

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Éléments d'un ensemble représentés par une somme

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Majoration de produit sous contrainte

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec somme pondérée et binôme

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Caractérisation des entiers par une somme de parties entières

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec produit et géométrique

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec dénominateurs croisés

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équation avec puissances de parties entière et fractionnaire

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec inverses de sommes

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Minimum d'une expression rationnelle

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Somme de parties entières avec conditions modulaires

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Plus petite constante pour somme de produits (OIM 1999)

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec quatre variables et somme unitaire

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Minoration de somme de rapports avec deux contraintes

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Somme cyclique de carrés divisés par variable suivante

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Plus petit majorant pour expression antisymétrique (OIM 2006)

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec contrainte abc = 8

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Cas d'égalité pour constante optimale

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec somme de produits

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Somme de carrés avec contrainte et produit

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec contrainte sur produits (Macédoine du Nord)

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Divisibilité par la partie entière de la racine

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec a+b+c=3 (Turquie)

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Rapport maximum sur minimum (États-Unis)

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec racines cubiques (Estonie)

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Maximisation de somme de carrés avec ordres

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité cyclique avec inverses

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Nombre de solutions dans un intervalle

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Double inégalité avec somme unitaire

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équation avec partie entière et puissance

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équation mixte avec partie entière

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité de Nesbitt généralisée

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité de sous-ensemble sommatif (Roumanie)

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec racines et contrainte

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec rapports de différences

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec somme et produit

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Ensemble des solutions d'une équation diophantienne

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec partie entière et fractionnaire

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Système avec partie entière et fractionnaire

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Somme d'une série avec suite définie par récurrence

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Entiers distincts dans une suite

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Propriété invariante pour les puissances

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec inverses et contrainte

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité entre inverses et puissances huitièmes

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Somme de parties entières de fractions

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité de somme de parties fractionnaires

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équation avec différence de racines

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Série télescopique avec suite radicale

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Produit avec puissances de deux

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équation trigonométrique avec parties entière et fractionnaire

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité pour côtés d'un triangle (Grèce)

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec produits et carrés

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équation avec valeur absolue et partie entière

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équation avec partie entière imbriquée

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité de Schur avec ordres

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec termes cubiques et puissances

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec racines carrées et contrainte de somme

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Équation mixte avec partie entière et fractionnaire

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec a+b+c=1 (Turquie)

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité pour suite récurrente

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec contrainte de somme unitaire

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité sur les axes d'une ellipse

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Existence d'un couple avec minoration

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec contrainte sur les produits

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec racines carrées contraintes

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Détermination de valeurs satisfaisant deux inégalités

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec parties entière et fractionnaire

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Somme double de parties entières

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Côtés de triangle via inégalité de Cauchy (OIM 2004)

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Somme de parties entières d'inverses

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Identité avec partie entière et demi-entier

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec racines carrées (Taïwan)

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Système linéaire avec parties entière et fractionnaire

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Somme des solutions avec partie entière

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Égalités de parties entières de racines

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Moyennes de racines carrées avec partie entière

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Majoration de somme de valeurs absolues moins produit

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec contrainte x²+y²+z²=3 (Ukraine)

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Somme de différences avec contrainte sur les parties entières

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité cyclique avec trois variables

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec inverses de produits

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec contrainte arithmético-géométrique

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité de Schur cubique

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Encadrement d'une expression triangulaire

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec contrainte xy+yz+zx (Serbie)

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité homogène avec différences de carrés

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Somme de carrés d'inverses avec contrainte

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Existence d'un triangle et système

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité cubique au dénominateur

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec racines cubiques

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec produits et somme de carrés

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec sommes de termes pondérés

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec racines quatrièmes (Turquie)

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec puissances et racines

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec racine cubique

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec trois fractions au carré

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec puissances et racines cubiques

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité de somme sous condition d'inverses

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité linéaire en produits

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec racines cubiques (Bulgarie)

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité de produits avec majorations partielles

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité de produit et sommes

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Cubes et maximum de sommes

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Somme d'inverses avec contrainte sur produits pairs

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité itérée avec contrainte initiale

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec contrainte $abc = 8$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Minimum de somme avec contrainte cyclique (OIM 2010)

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec moyennes et produits

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Détermination de la valeur maximale de $k$

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Encadrement de somme de différences

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Inégalité avec abc=1 (Pologne)

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

📖 L'essentiel à lire