Inégalité avec dénominateurs croisés

Régional

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $a, b, c$ des réels strictement positifs. Montrer que :

$\frac{1}{a ^{2} + b c} + \frac{1}{b ^{2} + c a} + \frac{1}{c ^{2} + ab} \leq \frac{1}{2} (\frac{1}{ab} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a})$

(Lituanie)