Somme cyclique de carrés divisés par variable suivante

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Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{100}$ des nombres réels positifs vérifiant : $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{100}^{2} = 1$ .

Montrer que :

$a_{1}^{2} a_{2} + a_{2}^{2} a_{3} + \dots + a_{100}^{2} a_{1} \leq \frac{2}{3} .$