Côtés de triangle via inégalité de Cauchy (OIM 2004)

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Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soit $n \geq 3$ un entier. Soient $t_{1}, \dots, t_{n}$ des réels $> 0$ tels que :

$n^{2} + 1 > (t_{1} + \dots + t_{n}) (\frac{1}{t _{1}} + \dots + \frac{1}{t _{n}}) .$

Montrer que, pour tous $i, j, k$ distincts dans $[[1, n]]$ , les nombres $t_{i}, t_{j}, t_{k}$ sont les côtés d'un triangle.

(OIM, 2004)