Inégalité double avec somme de carrés

Soient $x,y,z$ des nombres réels strictement positifs vérifiant $x,y,z<2$ et $x^2+y^2+z^2=3$. Montrer que :

$$\frac{3}{2}<\frac{1+y^2}{2+x}+\frac{1+z^2}{2+y}+\frac{1+x^2}{2+z}<3.$$

(Grèce)