Moyennes de racines carrées avec partie entière

Soient $a$ et $b$ deux entiers strictement positifs avec $a<b$. On pose :

$$M(a,b)=\frac{\sum _{k=a}^b\sqrt{k^2+3k+3}}{b-a+1}.$$

1. Déterminer la valeur de $K(a,b)=\lfloor M(a,b)\rfloor$.
2. Déterminer la valeur de $$N(a,b)=\frac{\sum _{k=a}^b\lfloor \sqrt{k^2+3k+3}\rfloor }{b-a+1}.$$

(Autriche)