Somme de parties entières de multiples

National

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $m$ et $n$ deux entiers strictement positifs et premiers entre eux. Montrer que :

$⌊ \frac{n}{m} ⌋ + ⌊ \frac{2 n}{m} ⌋ + ⌊ \frac{3 n}{m} ⌋ + \dots + ⌊ \frac{( m - 1 ) n}{m} ⌋ = \frac{( m - 1 ) ( n - 1 )}{2}$