Série télescopique avec suite radicale

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Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soit $a \in N^{*}$ un entier fixé. On définit la suite $(a_{n})_{n \geq 0}$ par :

$a_{n} = ⌊ (a + a^{2} + 1)^{n} + (\frac{1}{2})^{n} ⌋ .$

Montrer que :

$\frac{1}{a _{0} a _{2}} + \frac{1}{a _{1} a _{3}} + \dots + \frac{1}{a _{n - 1} a _{n + 1}} + \dots = \frac{1}{8 a ^{2}} .$