Inégalité itérée avec contrainte initiale

Soient $a,b,c$ des nombres réels strictement positifs vérifiant $abc=1$. Montrer que :

si $a+b+c\le \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ alors $a^n+b^n+c^n\le \frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}$ pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

(Russie)