Inégalité avec moyennes et produits

National

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $x$ et $y$ des nombres réels strictement positifs. Montrer que :

$(\frac{2 x + y}{3} \cdot \frac{x + 2 y}{3})^{2} \geq x y \cdot (\frac{x + y}{2})^{3} .$