Inégalité avec somme d'inverses de différences

Régional

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $x_{0} > x_{1} > \dots > x_{n}$ des nombres réels. Montrer que :

$x_{0} + \frac{1}{x _{0} - x _{1}} + \frac{1}{x _{1} - x _{2}} + \dots + \frac{1}{x _{n - 1} - x _{n}} \geq x_{n} + 2 n .$

(Russie)