Inégalité quadratique avec rapports et inverses

Régional

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $a, b, c$ des réels strictement positifs. Montrer que :

$(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a})^{2} \geq (a + b + c) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})$

(Royaume-Uni)