Inégalité comparant minima de produits croisés

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Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}, \dots, a_{n}, b_{n}$ des nombres réels positifs. Montrer que :

$i, j = 1 \sum n min (a_{i} a_{j}, b_{i} b_{j}) \leq i, j = 1 \sum n min (a_{i} b_{j}, a_{j} b_{i}) .$

(États-Unis)