Somme de parties entières d'inverses

Soit $(a_n{)}_{n\ge 1}$ une suite réelle à termes strictement positifs vérifiant $a_1=1$, et telle que :

$$a_1+a_2+\cdots +a_n=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{1}{a_n}\right)\text{pour tout }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

Déterminer la valeur de la somme :

$$\lfloor \frac{1}{a_1}\rfloor +\lfloor \frac{1}{a_1+a_2}\rfloor +\cdots +\lfloor \frac{1}{a_1+a_2+\cdots +a_{100}}\rfloor$$