Inégalité avec double produits et somme de carrés

Régional

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $a, b, c$ des réels strictement positifs vérifiant $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$ . Montrer que :

$\frac{1}{1 + 2 ab} + \frac{1}{1 + 2 b c} + \frac{1}{1 + 2 c a} \geq 1.$

(Estonie)