Ensemble des solutions d'une équation diophantienne

Pour tout entier $n\ge 2$ on désigne par $A_n$ l'ensemble des solutions réelles de l'équation :

$$x=\lfloor \frac{x}{2}\rfloor +\lfloor \frac{x}{3}\rfloor +\cdots +\lfloor \frac{x}{n}\rfloor$$

Montrer que l'ensemble $A=\bigcup _{n\ge 2}{A}_n$ est fini, et trouver $\max A$. (Roumanie)