Minoration de somme de rapports avec deux contraintes

Régional

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

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Soient $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ des réels strictement positifs vérifiant $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2} = A$ . Montrer que :

$i, j \sum \frac{a _{i}}{a _{j}} \geq \frac{( n - 1 ) ^{2} A}{A - 1}$

(Turquie)

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