Inégalité avec contrainte x²+y²+z²=3 (Ukraine)

National

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $x, y, z$ des nombres réels positifs vérifiant $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3$ . Montrer que :

$\frac{x}{x ^{2} + y + z} + \frac{y}{y ^{2} + z + x} + \frac{z}{z ^{2} + x + y} \leq 3 .$