Somme de parties entières avec conditions modulaires

Soient $p$ un nombre premier impair, et $f:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$ une fonction telle que :

1. $\frac{f(k)}{p}$ n'est pas un entier pour $k\in [[1,p-1]]$ ;
2. $f(k)+f(p-k)$ est un entier divisible par $p$ pour $k\in [[1,p-1]]$.

Montrer que :

$$\sum _{k=1}^{p-1}\lfloor \frac{f(k)}{p}\rfloor =\frac{1}{p}\sum _{k=1}^{p-1}f(k)-\frac{p-1}{2}.$$