Somme de fractions avec dénominateurs cumulatifs

National

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ des nombres réels. Montrer que :

$\frac{x _{1}}{1 + x _{1}^{2}} + \frac{x _{2}}{1 + x _{1}^{2} + x _{2}^{2}} + \dots + \frac{x _{n}}{1 + x _{1}^{2} + \dots + x _{n}^{2}} < n .$