Somme de racines cubiques avec contrainte symétrique

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Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $a, b, c$ des nombres réels strictement positifs vérifiant $ab + b c + c a = 1$ . Montrer que :

$3 a^{3} + a + 3 b^{3} + b + 3 c^{3} + c \geq 2 a + b + c .$

(Iran)