Inégalité avec xyz=1

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Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $x, y, z$ des nombres réels strictement positifs vérifiant $x y z = 1$ . Montrer que :

$\frac{x ^{3} + y ^{3}}{x ^{2} + x y + y ^{2}} + \frac{y ^{3} + z ^{3}}{y ^{2} + y z + z ^{2}} + \frac{z ^{3} + x ^{3}}{z ^{2} + z x + x ^{2}} \geq 2.$

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