Rapport maximum sur minimum (États-Unis)

National

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Pour $n \geq 2$ soient $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ des nombres réels strictement positifs vérifiant :

$(a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}) \cdot (\frac{1}{a _{1}} + \frac{1}{a _{2}} + \dots + \frac{1}{a _{n}}) \leq (n + \frac{1}{2})^{2} .$

Montrer que :

$max {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}} \leq 4 \cdot min {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}} .$