Double inégalité avec somme unitaire

National

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $x, y, z$ des réels positifs vérifiant $x + y + z = 1$ . Montrer que :

$2 \leq (1 - x^{2})^{\frac{1}{2}} + (1 - y^{2})^{\frac{1}{2}} + (1 - z^{2})^{\frac{1}{2}} \leq (1 + x) (1 + y) (1 + z) .$

(Autriche-Pologne)