Minoration de somme pondérée d'entiers

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Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

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Soient $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ des entiers, non tous nuls, et tels que $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = 0$ . Montrer que pour un $k \in {1, n}$ on a :

$a_{1} + 2 a_{2} + \dots + 2^{k - 1} a_{k} > \frac{2 ^{k}}{3} .$

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